푸리에 변환

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• 푸리에 변환

 

 

간단한 소개

• 아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\),  에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의
  \(\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\)
  

 

 

유한아벨군의 경우

• \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

• 가우스합에의 응용
  

• \(a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 곱셈에 대한 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

\(g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

• 성질
  \(g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\)
  \(\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}\)
  

 

 

푸리에변환(실수의 경우)

• 리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의
  \(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)
  

 

 

푸리에 변환의 예

\(f(x)=e^{-\alpha x^2}\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}\)

\(f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}\)

 

 

멜린 변환

• \(G=(\mathbb{R^{+}}, *)\), \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의
  \(\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\)
  
• 감마함수의 정의, 리만제타함수, 디리클레 L-함수의 해석적확장에 활용
  
• ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
  

 

 

 

 

역사

• 수학사연표
  

 

 

관련된 다른 주제들

• 유한군의 표현론
  
• 순환군의 표현론
  
• 포아송의 덧셈 공식
  
• 라플라스 변환
  

 

 

관련도서 및 추천도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전형태의 자료

•  
  
• http://ko.wikipedia.org/wiki/푸리에변환
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=[1]

 

 

관련기사

• [생활속과학원리찾기푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]
  
  • 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25
• [사이언스 21(119)푸리에 급수]
  
  • [2]전자신문, 2006-9-11
• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=푸리에변환
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=푸리에
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