푸앵카레의 추측

개요

• 푸앵카레의 추측
  단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다
  

 

 

단일연결된 공간

• 단일연결된 공간(simply connected space)
  
  • 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
• 2차원 구면은 단일연결되어있음.
• 도넛은 단일연결되어있지 않음.

 

2차원 구면의 단일연결성

• 구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음

 

 

도넛의 단일연결성

• 도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다

 

 

다양체(manifold)

• 1차원 다양체 = 곡선
  
  • 원, 직선, ...
• 2차원 다양체 = 곡면
  
  • 평면, 구면, 도넛, 
• n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화
  
  • 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다

 

 

위상적으로 같음

• homeomorphic, homeomorphism
• 도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다

 

 

역사

• 수학사 연표
• 1900 푸앵카레의 추측
• 1982 써스톤 geometrization 추측
• 1982 리차드 해밀턴
• 2006 그리고리 페렐만

 

 

메모

• http://lecture.math.inha.ac.kr/~jhyang/paper/EPerelman.pdf
• [1]http://nepalimath.com/poincare.aspx
• http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/others/perelman/introperelman.html

 

 

관련된 항목들

• 대수적위상수학
• 기하학과 위상수학의 주제들
• 가우스-보네 정리
• 지식채널e '오일러의 왼쪽 눈'

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=simply+connected
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/푸앵카레_추측
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Curtis T. McMullen, The evolution of geometric structures on 3-manifolds Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 259-274.
• Tao, Terence. 2006. “Perelman’s proof of the Poincar’e conjecture: a nonlinear PDE perspective”. math/0610903 (10월 29). http://arxiv.org/abs/math/0610903.
  
• Shing-Tung Yau, Structure of Three-Manifolds– Poincar´e and geometrization conjectures 2006

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=페렐만
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=