전달행렬 (transfer matrix)

개요

• 볼츠만 가중치(Boltzmann weights)를 성분으로 갖는 행렬
• 모노드로미 행렬(monodromy matrix)의 대각합으로 주어짐
• 분배함수는 전달행렬의 거듭제곱의 대각합으로 표현되며, 따라서 전달행렬의 고유벡터와 고유값을 구하는 문제가 중요해진다

정의

• 스핀 $s_i, i=1,\cdots, N$과 주기조건 $s_{N+1}=s_1$을 가정
• 스핀 $s_i$과 $s_{i+1}$의 상호작용 $E(s_i,s_{i+1})$
• 해밀토니안이 $H=\sum_{i=1}^{N} E(s_i,s_{i+1})$ 꼴로 쓰여지는 경우
• 전달행렬은 $T_{s_i,s_{i+1}}=\exp(-\beta E(s_i,s_{i+1}))$ 꼴로 쓸 수 있으며, 분배함수는 다음과 같이 주어진다

$$ Z_N=\sum_{s_1,\cdots,s_N}T_{s_1,s_2}\cdots,T_{s_N,s_1}=\operatorname{Tr} T^N $$

• 자유에너지(per site) 는 다음과 같다

$$ F=-\frac{1}{\beta}\lim_{N\to \infty}\frac{\ln \Lambda_0^N}{N}=-\frac{1}{\beta}\ln \Lambda_0, $$ 또는 $$ F=-\frac{1}{k T}\ln \Lambda_0, $$ 이 때 $\Lambda_0$는 $T$의 최대인 고유값

예

• 1차원 이징 모형(Ising model)
• 2차원 이징 모형 (사각 격자)
• 응집 전이의 분배함수 증명