2차원 이징 모형 (사각 격자)

수학노트
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개요

  • 통계물리에서 중요하게 취급되는 자성체의 모형
  • 격자의 각 점에 놓인 스핀들이 가장 가까운 거리에 있는 경우에만 상호작용을 하는 것을 가정
  • 2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 정확히 풀리는 모형의 대표적인 예


정의

  • $M\times N$ 크기 2차원 사각격자 $L$
  • 스핀의 배열 $\sigma$은 함수 $\sigma : L\to \pm 1 $를 의미
  • 각 $\sigma$에 대한 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다

$$ H(\sigma)=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (J_1s_{m,n}s_{m+1,n}+J_2s_{m,n}s_{m,n+1}) $$ 여기서 $s_{m,n}$은 $(m,n)\in L$에서의 $\sigma$의 값


분배함수

  • 분배함수 $Z(\beta)$는 모든 가능한 스핀 배열 $\sigma=\{s\}$에 대하여 $\exp\left(-\beta H(\{s\})\right)$를 더한 값으로 정의, 즉

$$ \begin{align} Z_(\beta) & =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \\ &=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N\prod_{m=1}^M \exp (K_1s_{m,n}s_{m+1,n}+K_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \tag{1} \end{align} $$ 여기서 $\beta=1/(kT)$, $T$는 온도, $k$ 볼츠만 상수

  • $J_1,J_2>0$이면, 이는 강자성체의 모형이 된다
  • 통계물리에서 모형을 이해하기 위해 중요한 과제는 (1)를 구하는 것

전달행렬

  • 한 층에 해당하는 스핀 $S_n=\{s_{1,n},\cdots, s_{M,n}\}$을 도입하면, (1)는 다음과 같이 쓰여진다

$$ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N \exp (\sum_{m=1}^M K_1s_{m,n}s_{m+1,n}) \exp (\sum_{m=1}^M K_2s_{m,n}s_{m,n+1})\\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}(V_2)_{S_NS_1} \\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}^{1/2}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}^{1/2}(V_2)_{S_NS_1}(V_1)_{S_1}^{1/2} \end{aligned} \tag{2} $$ 여기서 $$ \begin{aligned} (V_1)_{S_{n}}&=\exp(K_1\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m+1,n}) \\ (V_2)_{S_nS_{n+1}}&=\exp(K_2\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m,n+1}) \end{aligned}\tag{3} $$

$$ V_1=\exp (K_1 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) $$ $$ V_2 =(2\sinh 2K_2)^{M/2}\exp (K_2^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) $$ 여기서 $\tanh K_2^*=e^{-2K_2}$이고 $\sigma^x, \sigma^z$를 파울리 행렬이라 하면, $m=1,\cdots, M$에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]

  • 표준적인 $(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}$의 기저 $\{S_{1},\cdots, S_{2^M}\}$를 이용하여, $V_1$와 $V_2$를 $2^M\times 2^M$ 행렬로 이해할 수 있고, 이 때 행렬의 성분은 (3)로 주어지게 된다
  • (2)는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다

$$ Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N $$ 여기서 $T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}$

  • $T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}$를 전달행렬 (transfer matrix)이라 부르며, 분배함수 $Z$를 구하는 문제는 이제 $T$를 대각화하는 문제로 이해할 수 있다

unitary transformation

  • 다음의 변환을 적용

$$ \sigma^x\mapsto -\sigma^z \\ \sigma^z\mapsto -\sigma^x $$

  • $UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^{M-1}(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})-K_1(c_M^\dagger-c_M)(c_{1}^\dagger+c_{1})\prod_{m=1}^M (1-2c_{m}^\dagger c_{m})\right]$
  • $c_{m}^\dagger c_{m}$은 number operator
  • $c_{M+1}^\dagger=(-1)^{N_F-1}c_{1}^\dagger$, $c_{M+1}=(-1)^{N_F-1}c_{1}$
  • $UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^M(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})\right]$


전달행렬의 대각화

메모

  • $L \times L$ 정사각 격자, $N=L^2$의 경우
  • 해밀토니안이 다음과 같이 주어진 경우

$$ H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j $$

  • 자유에너지는

$$ F= - kT \ln Z_N $$

  • 열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지

$$ f= - k T \ln \lambda $$ 여기서 $\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}$


정리 (온새거, 1944)

$$ \begin{aligned} \ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n} \end{aligned} $$ 여기서 $K=\frac{J}{2kT}$, $2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)$


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관련논문

  • Mohammed, Jahangir, and Swapna Mahapatra. “A Comparative Study of $2d$ Ising Model at Different Boundary Conditions Using Cellular Automata.” arXiv:1601.00518 [cond-Mat, Physics:hep-Th], January 4, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.00518.
  • Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.