1차원 이징 모형(Ising model)

개요

이징 모형(Ising model)은 평형통계물리에서 다루는 시스템 중 가장 단순하면서도 중요
1차원 이징 모형은 정확히 풀리는 모형으로 상전이 현상을 보이지 않는다
외부자기장이 없는 2차원 이징 모형 (사각 격자)은 정확히 풀리는 모형으로 상전이 현상을 보인다

해밀토니안과 분배함수

크기가 N인 1차원 격자의 양 끝이 이어져 있다고 합시다. 이 격자 위의 이징 모형을 나타내는 해밀토니안은 다음과 같습니다. \[H=-J\sum_{i=1}^N s_is_{i+1}-h\sum_{i=1}^N s_i,\ s_{N+1}=s_1\]

인접합 스핀 사이에는 \(J\)라는 상호작용이 있고 각 스핀에는 외부 자기장 \(h\)가 균일하게 가해지는 것으로 놓았습니다. 분배함수는 다음과 같습니다 \[ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}e^{-\beta H}\\ &=\sum_{\{s\}} e^{Bs_1}e^{Ks_1s_2} e^{Bs_2}e^{Ks_2s_3}\cdots e^{Bs_N}e^{Ks_Ns_1} \\ &=\sum_{\{s\}} e^{\frac{B}{2}s_1}e^{Ks_1s_2} e^{\frac{B}{2}s_2}e^{Ks_2s_3}\cdots e^{\frac{B}{2}s_N}e^{Ks_Ns_1}e^{\frac{B}{2}s_1} \end{aligned} \label{Zustandssumme} \] 여기서 \(B=\beta h\), \(K=\beta J\)이고, 합은 모든 스핀 배열 \(\{s\}=(s_1,\cdots,s_N)\)에 대하여 행해지며, 각 스핀 \(s_i,\,i=1,\cdots,N\)는 1 또는 -1.

예

\(N=2\)이면,

\[ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}e^{\left(B s_1+B s_2+2 K s_2 s_1\right)}\\ &=e^{2 K-2 B}+e^{2 B+2 K}+2 e^{-2 K} \end{aligned} \]

\(N=3\)

\[ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}e^{\left(B s_1+B s_2+B s_3+K s_1 s_2+K s_2 s_3+K s_3 s_1\right)}\\ &=3 e^{-B-K}+3 e^{B-K}+e^{3 K-3 B}+e^{3 B+3 K} \end{aligned} \]

\(N=4\)

\[ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}e^{\left(B s_1+B s_2+B s_3+B s_4+K s_2 s_1+K s_4 s_1+K s_2 s_3+K s_3 s_4\right)}\\ &=e^{4 K-4 B}+e^{4 B+4 K}+4 e^{-2 B}+4 e^{2 B}+2 e^{-4 K}+4 \end{aligned} \]

아래에서는 분배함수 \(Z\)를 구하는 방법을 설명합니다.

전달행렬을 통한 분배함수의 표현

파울리 행렬을 이용하여 분배함수를 표현하려 합니다. 우선 파울리 행렬은 다음과 같습니다. \[\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\ \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\]

이제 \ref{Zustandssumme}의 각 요소를 하나씩 봅니다.

\(V_1\)

먼저 \(B\)가 있는 요소를 보면 각 스핀이 1 또는 -1이므로 아래처럼 두 경우밖에 없습니다. \[e^{Bs_i}=\left\{\begin{array}{ll}e^{B}=\langle+|e^{B\sigma_z}|+\rangle & \textrm{if}\ s_i=1 \\ e^{-B}=\langle-|e^{B\sigma_z}|-\rangle & \textrm{if}\ s_i=-1 \end{array}\right.\]

그 각각을 위의 오른쪽처럼 파울리 행렬 중 z성분으로 나타냅니다. 이때 +와 -는 각각 스핀이 1인 상태, 스핀이 -1인 상태를 나타냅니다. 헷갈릴 수 있는데요, 맨 왼쪽의 \(s_i\)는 '값'이고 맨 오른쪽의 \(\sigma_z\)는 '행렬'입니다. 그래서 이 행렬에 + 또는 -로 표현된 상태가 앞뒤로 곱해져야 '값'이 되겠죠. 편의상 \(\sigma_z\)를 지수로 갖는 부분을 \(V_1\)로 정의합니다. \[V_1\equiv e^{B\sigma_z}=\begin{pmatrix} e^{B} & 0 \\ 0 & e^{-B} \end{pmatrix},\ \langle+|V_1|-\rangle=\langle-|V_1|+\rangle=0\]

\(V_2\)

이제 \(K\)가 있는 요소를 봅니다. 이 요소의 값은 이웃한 두 스핀 값이 같으냐 다르냐에만 의존합니다. \[e^{Ks_is_{i+1}}=\left\{\begin{array}{ll} e^{K}=\langle+|V_2|+\rangle=\langle-|V_2|-\rangle & \textrm{if}\ s_i=s_{i+1} \\ e^{-K}=\langle+|V_2|-\rangle=\langle-|V_2|+\rangle & \textrm{if}\ s_i\neq s_{i+1} \end{array}\right.\] \[V_2=\begin{pmatrix}e^K & e^{-K} \\ e^{-K} & e^K \end{pmatrix} = e^K I_2+e^{-K}\sigma_x \label{V2}\]

맨 오른쪽의 첫번째 항의 \(I_2\)은 단위행렬을 뜻합니다. \(V_2\)는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다. \[V_2=A(K)e^{K^*\sigma_x}\] 여기서 \(A(K)\)와 \(K^*\)는 \(K\)의 함수입니다. \(V_2\)도 \(V_1\)처럼 이런 형태로 표현해야 나중에 풀기가 쉬워집니다. 이제 \(A(K)\)와 \(K^{*}\)를 구하려고 합니다. \[ \begin{aligned} A(K)e^{K^*\sigma_x}&=A(K)\sum_{j=0}^\infty \frac{(K^{*})^{j}}{j!}(\sigma_x)^j \\ &=A(K)\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{(K^{*})^{2k}}{(2k)!}I_2+\sum_{k=0}^\infty\frac{(K^{*})^{2k+1}}{(2k+1)!}\sigma_x\right)\\ &=A(K)(\cosh K^{*}I_2+\sinh K^{*}\sigma_x) \end{aligned} \] 여기서 지수함수를 그냥 푼 다음에 짝수번째 항들과 홀수번째 항들로 나누고, \(\sigma_x\)의 제곱은 단위행렬, 즉 \(I_2\)이 된다는 사실을 이용하였습니다. 이를 \ref{V2}와 비교하면 \[ \begin{aligned} e^K&=A(K)\cosh K^{*}\\ e^{-K}&=A(K)\sinh K^{*} \end{aligned} \] 이로부터 아래 결과를 얻습니다. \[A(K)=\sqrt{2\sinh 2K},\ \tanh K^*=e^{-2K}\] 쌍곡함수 참조

전달행렬

지금까지 얻은 결과를 이용해서 \ref{Zustandssumme}를 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\[Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N\] 여기서 \(T:=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}\)

행렬 \(T\)를 전달행렬 (transfer matrix)이라 부르며, 성분은 다음과 같이 주어집니다

\[ T=\left( \begin{array} e^{B+K} & e^{-K} \\ e^{-K} & e^{K-B} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} e^{J\beta+h \beta} & e^{-J \beta } \\ e^{-J \beta } & e^{J \beta -h \beta } \\ \end{array} \right)\label{trans} \]

전달행렬의 대각화

전달행렬 \ref{trans}의 고유값 \(\lambda_1, \lambda_2\)은

\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= e^{\beta J} \cosh (\beta h)+\sqrt{e^{2 \beta J} \sinh ^2(\beta h)+e^{-2 \beta J}}\\ \lambda_2 &= e^{\beta J} \cosh (\beta h)-\sqrt{e^{2 \beta J} \sinh ^2(\beta h)+e^{-2 \beta J}} \end{aligned} \] 로 주어지며 이로부터 분배함수를 바로 얻습니다 \[Z=\lambda_1^N+\lambda_2^N\]

고전 모형과 양자 모형

상호작용하는 N개의 스핀에 관한 문제가 1개의 스핀에 대한 문제로 환원되었음을 보았습니다. 원래 시스템의 스핀은 그 값이 1 또는 -1로 정해져 있다는 의미에서 '고전적 스핀'이고, 환원된 후의 스핀은 파울리 행렬로 표현되는 '양자 스핀'입니다. 1차원 고전 모형이 0차원 양자 모형과 같음을 보인 것이죠. (0차원은 곧 단 1개의 스핀에 대한 문제라는 뜻입니다.) 그래서 일반적으로 d+1차원 고전 모형이 d차원 양자 모형에 대응된다고 말합니다.

역사

1925 이징에 의해 1차원 이징 모형이 해결
1944 온사거에 의해 2차원 이징 모형 해결
3차원은 아직 풀리지 않았고
4차원 이상은 평균장 어림으로 풀린다는 게 알려져 있죠. 이외에도 척도 없는 연결망에서 평균장 어림을 이용하여 풀렸습니다.

계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVzRydDNSZTFOTVE/edit