2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성

수학노트
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개요

$$ -\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) $$

  • 분배함수

$$ Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \tag{1} $$

  • 함수 $W:\mathbb{Z}/(2)\to \mathbb{R}$를 $W(0)=e^K$, $W(1)=e^K$로 정의하면 다음을 얻는다

$$e^{-\beta H(\{s\})}=\prod_{\langle i,j \rangle}W(s_i-s_j \mod 2)$$

  • 푸리에 변환 $\widehat{W}$은 $W(0)=\widehat{W}(0)+\widehat{W}(1)$, $W(1)=\widehat{W}(0)-\widehat{W}(1)$을 만족
  • 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다

$$ e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) $$

  • 분배함수 (1)는 다음을 만족한다

$$ Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) $$

임계온도

  • $\widehat{W}(0)=e^{\tilde{K}}$, $\widehat{W}(1)=e^{-\tilde{K}}$로 두면 두 결합상수 $K, \tilde{K}$ 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다

$$ \sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 $$

  • 이징 모형이 $K=K_c$에서 임계점을 가지면, 쌍대 모형도 같은 곳에서 임계점을 가져야 한다
  • 따라서 이징 모형의 임계온도 $K_c$가 유일하다고 가정하면 이는 다음을 만족한다

$$\sinh(2K_c)^2=1$$

  • \(K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots\)


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관련논문

  • Kramers, H. A., and G. H. Wannier. “Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I.” Physical Review 60, no. 3 (August 1, 1941): 252–62. doi:10.1103/PhysRev.60.252.