오일러-가우스 초기하함수2F1

개요

• 초기하급수\[\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\]
  여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)에 대해서는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 항목 참조
  
• 적분표현\[\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\]
  
• 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
  
• 오일러, 가우스, 쿰머, 리만,슈워츠 등의 연구
  

 

 

초기하급수로 표현되는 함수의 예

• 많은 special function 은 초기하함수의 파라메터를 변화시켜 얻어짐
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
  
• 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)\[E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\]
  

 

 

초기하 미분방정식

• \(w(z)=\,_2F_1(a,b;c;z)\) 는 다음 피카드-Fuchs 형태의 미분방정식의 해가 된다\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\]
  
• 이 미분방정식을 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 이라 부른다
  

 

 

 

오일러의 변환 공식

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 (a, c-b;c ; \frac{z}{z-1})\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b}{}_2F_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b}{}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)\)

 

(증명)

다음 적분표현을 활용

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)

위의 우변에서 \(t\to 1-t\), \(t\to \frac{t}{1-z-tz}\), \(t\to \frac{1-t}{1-tz}\)의 변환을 이용하면 항등식이 얻어진다. ■

• http://mathworld.wolfram.com/EulersHypergeometricTransformations.html
  
• 쿰머의 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)에 대한 24개의 해를 표현하는데 사용됨
  

 

 

contiguous 관계

• 초기하함수 2F1의 contiguous 관계
  

 

 

타원적분과 초기하급수

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
  

 

 

모듈라 함수와의 관계

• 라마누잔과 파이
  
• [BB1998]Pi and the AGM
  
• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998) 179,180p
• [Nes2002] 159p
  

 

 

슈워츠 s-함수

• 슈워츠 s-함수
  

 

 

special values

• Chu-Vandermonde 공식\[\,_2F_1(-n,b;c;1)=\dfrac{(c-b)_{n}}{(c)_{n}}\]
  아래 가우스 공식에서 \(a=-n\)인 경우에 얻어진다
  

• 가우스 공식\[\,_2F_1(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\]
  
• 위의 두 식에 대해서는 초기하 급수의 합공식
  
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분\[\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\]
  
• http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html\[_2F_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{5}{6};\frac{27}{32})=\frac{8}{5}\]\[_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{80}{81})=\frac{9}{5}\]\[_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};\frac{1}{2};\frac{2400}{2401})=\frac{2}{3}\sqrt{7}\]\[_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{25}{27})=\frac{3}{4}\sqrt{3}\]\[_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{125}{128})=\frac{4}{3}\sqrt[6]2\]\[_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}\]\[_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{121}{125})=\frac{\sqrt[6]{2}\sqrt[4]{15}}{4\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{3})^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}(1+\sqrt{3})\]
  

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• periods
  
• 무리수와 초월수
  
• 오일러 베타적분
  
• Special functions
  
• 맴돌이군과 미분방정식
  

 

 

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWFFlaHc2OVdQLXc/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하함수
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hypergeometric_identities
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_differential_equation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• [Nes2002]On the Algebraic Independence of Numbers
  
  • Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
    
• On the Kummer Solutions of the Hypergeometric Equation
  
  • Reese T. Prosser, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 6 (Jun. - Jul., 1994), pp. 535-543   
• Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
  
  • R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86

 

 

관련논문

• On the contiguous relations of hypergeometric series
  
  • Medhat A. Rakha, Adel K. Ibrahim, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 192, Issue 2, 1 August 2006, Pages 396-410
• Transcendence of periods: the state of the art.
  
  • M. Waldschmidt., Pure Appl. Math. Q. 2 (2006), 435-463.
    
• Exceptional sets of hypergeometric series
  
  • Natália Archinard, Journal of Number Theory Volume 101, Issue 2, August 2003, Pages 244-269
    
• Thorsley, Michael D., and Marita C. Chidichimo. 2001. “An Asymptotic Expansion for the Hypergeometric Function 2F1(a,b;c;x).” Journal of Mathematical Physics 42 (4) (April 1): 1921–1930. doi:doi:10.1063/1.1353185. http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v42/i4/p1921_s1
• Special values of the hypergeometric series III
  
  • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (2002), 133 : 213-222
• Special values of the hypergeometric series II
  
  • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (2001), 131 : 309-319
• Special values of the hypergeometric series
  
  • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (1991)  volume: 109  issue: 2  page: 257
• Werte hypergeometrischer funktionen
  
  • Jürgen Wolfart, Inventiones Mathematicae Volume 92, Number 1 / 1988년 2월