"리만 제타 함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 19번째 줄: | 19번째 줄: | ||
* [[감마함수]]:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> 를 이용하면, :<math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math><br> | * [[감마함수]]:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> 를 이용하면, :<math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math><br> | ||
* 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음. | * 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음. | ||
| − | + | :<math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | |
| − | <math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | ||
* 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함. | * 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함. | ||
| − | + | :<math>\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | |
| − | <math>\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | ||
여기서는 [[자코비 세타함수]]의 성질 | 여기서는 [[자코비 세타함수]]의 성질 | ||
| − | + | :<math>\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})</math> | |
| − | <math>\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})</math> | ||
| − | |||
이 사용됨. | 이 사용됨. | ||
| 45번째 줄: | 41번째 줄: | ||
[[자코비 세타함수]]의 모듈라 성질을 사용하면, | [[자코비 세타함수]]의 모듈라 성질을 사용하면, | ||
| − | + | :<math>\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | |
| − | <math>\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | ||
이므로, <math>\xi(s)</math> 의 정의를 이용하면, | 이므로, <math>\xi(s)</math> 의 정의를 이용하면, | ||
| − | + | :<math>\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | |
| − | <math>\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | ||
를 얻는다. | 를 얻는다. | ||
| 65번째 줄: | 59번째 줄: | ||
* meromorphic function | * meromorphic function | ||
| − | * 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> 더 정확히는:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math> | + | * 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> 더 정확히는:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math> |
| + | 여기서 <math>\gamma_n</math>은 스틸체스 상수<br> | ||
| 73번째 줄: | 68번째 줄: | ||
* [[리만가설]] | * [[리만가설]] | ||
| − | |||
| − | == | + | ==special values== |
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | ||
| 83번째 줄: | 77번째 줄: | ||
* [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙|ζ(4)]] | * [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙|ζ(4)]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들== | ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들== | ||
| 122번째 줄: | 91번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | + | * [[자코비 세타함수]] | |
| − | * [[자코비 세타함수 | + | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수|디리클레 수]] |
| − | |||
| − | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수|디리클레 | ||
| 133번째 줄: | 100번째 줄: | ||
==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
| − | * analytic continuation | + | * analytic continuation 해석적 접속 |
** [[해석적확장(analytic continuation)|해석적확장]]으로 하는게 적당해 보임 | ** [[해석적확장(analytic continuation)|해석적확장]]으로 하는게 적당해 보임 | ||
* continuation 연속 | * continuation 연속 | ||
* continuation method 연속법 | * continuation method 연속법 | ||
* direct analytic continuation 직접해석접속 | * direct analytic continuation 직접해석접속 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 160번째 줄: | 118번째 줄: | ||
==관련논문과 에세이== | ==관련논문과 에세이== | ||
| − | * [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis] | + | * P Sarnak [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis], 2004 |
| − | |||
| 168번째 줄: | 125번째 줄: | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function | ||
| − | * | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/리만제타함수 |
| − | |||
| − | |||
==관련링크와 웹페이지== | ==관련링크와 웹페이지== | ||
2013년 4월 5일 (금) 04:11 판
개요
- 복소수 \(\mathfrak{R}(s)>1\)에 대하여 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의
\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\]
- 이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
- 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
- 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
- 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
- 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조
해석적확장 (analytic continuation)
- 자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.\[\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\]
- 감마함수\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\]
를 이용하면, \[\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\] - 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
- 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.
\[\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
여기서는 자코비 세타함수의 성질 \[\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\] 이 사용됨.
- http://people.reed.edu/~jerry/311/zeta.pdf analytic continuation
리만제타함수의 함수방정식
- 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.\[\xi(s) = \xi(1 - s)\] 즉,\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]
(증명)
자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면, \[\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\]
이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면, \[\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
를 얻는다.
이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)을 얻는다.
(증명끝)
복소함수로서의 리만제타함수
- meromorphic function
- 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]
더 정확히는\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\]
여기서 \(\gamma_n\)은 스틸체스 상수
리만가설
special values
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
수학용어번역
- analytic continuation 해석적 접속
- 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
- continuation 연속
- continuation method 연속법
- direct analytic continuation 직접해석접속
관련도서
- Harold M. Edwards Riemann's Zeta Function
관련논문과 에세이
- P Sarnak Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis, 2004
사전형태의 자료
관련링크와 웹페이지
블로그
- Riemann's zeta function
- Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
- 피타고라스의 창