"가위 합동 (scissors congruence)"의 두 판 사이의 차이
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==힐베르트 3번 문제== | ==힐베르트 3번 문제== | ||
| − | * 부피가 같은 두 다면체에 대하여 합동인 | + | * 부피가 같은 두 다면체에 대하여 서로 합동인 다면체로의 분할을 찾을 수 있는지 (즉 가위합동인지) 에 대한 문제 |
* 덴이 도입한 덴 불변량을 이용하여 해결됨 | * 덴이 도입한 덴 불변량을 이용하여 해결됨 | ||
** 부피가 같으나 가위 합동이 아닌 다면체가 존재함 | ** 부피가 같으나 가위 합동이 아닌 다면체가 존재함 | ||
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==덴 불변량== | ==덴 불변량== | ||
| − | * $\mathbb{R}^3$의 3차원 polytope $P$에 대하여, 덴 불변량 $D:\mathcal{P}(\mathbb{R}^3)\to \mathbb{R}\otimes \mathbb{R}/\mathbb{Q}$을 다음과 같이 정의 | + | * $\mathbb{R}^3$의 3차원 polytope $P$에 대하여, 덴 불변량 $D:\mathcal{P}(\mathbb{R}^3)\to \mathbb{R}\otimes \mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi$을 다음과 같이 정의 |
$$\operatorname{D}(P) = \sum_{e} \ell(e)\otimes (\theta(e)+\mathbb{Q}\pi)$$ | $$\operatorname{D}(P) = \sum_{e} \ell(e)\otimes (\theta(e)+\mathbb{Q}\pi)$$ | ||
여기서 $e$는 $P$의 모서리, $\ell(e)$는 모서리의 길이, $\theta(e)$는 모서리 $e$에서 만나는 두 면의 이면각 | 여기서 $e$는 $P$의 모서리, $\ell(e)$는 모서리의 길이, $\theta(e)$는 모서리 $e$에서 만나는 두 면의 이면각 | ||
2013년 5월 15일 (수) 14:56 판
개요
- 힐베르트 3번 문제
- 덴 불변량
- 덴-사이들러 정리
힐베르트 3번 문제
- 부피가 같은 두 다면체에 대하여 서로 합동인 다면체로의 분할을 찾을 수 있는지 (즉 가위합동인지) 에 대한 문제
- 덴이 도입한 덴 불변량을 이용하여 해결됨
- 부피가 같으나 가위 합동이 아닌 다면체가 존재함
덴 불변량
- $\mathbb{R}^3$의 3차원 polytope $P$에 대하여, 덴 불변량 $D:\mathcal{P}(\mathbb{R}^3)\to \mathbb{R}\otimes \mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi$을 다음과 같이 정의
$$\operatorname{D}(P) = \sum_{e} \ell(e)\otimes (\theta(e)+\mathbb{Q}\pi)$$ 여기서 $e$는 $P$의 모서리, $\ell(e)$는 모서리의 길이, $\theta(e)$는 모서리 $e$에서 만나는 두 면의 이면각
메모
- http://www.math.csi.cuny.edu/abhijit/talks/scissors_slides.pdf
- http://www.math.brown.edu/~res/mathnotes.html
관련된 항목들
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- 박부성, 각뿔의 부피는?, 네이버 캐스트
- Johan L Dupont What is a Scissors Congruence?
- Neumann, Walter D. 1997. “Hilbert’s 3rd Problem and Invariants of 3-manifolds.” arXiv:math/9712226 (December 4). http://arxiv.org/abs/math/9712226.
관련도서
- Johan L Dupont Scissors Congruences, Group Homology And Characteristic Classes
- Boltjansky, V. G. 1978. Hilbert’s Third Problem. John Wiley & Sons Inc.