가위 합동 (scissors congruence)

수학노트
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개요

  • 힐베르트 3번 문제
  • 덴 불변량
  • 덴-사이들러 정리


힐베르트 3번 문제

  • 부피가 같은 두 다면체에 대하여 서로 합동인 다면체로의 분할을 찾을 수 있는지 (즉 가위합동인지) 에 대한 문제
  • 덴이 도입한 덴 불변량을 이용하여 해결됨
    • 부피가 같으나 가위 합동이 아닌 다면체가 존재함


덴 불변량

  • $\mathbb{R}^3$의 3차원 polytope $P$에 대하여, 덴 불변량 $D:\mathcal{P}(\mathbb{R}^3)\to \mathbb{R}\otimes \mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi$을 다음과 같이 정의

$$\operatorname{D}(P) = \sum_{e} \ell(e)\otimes (\theta(e)+\mathbb{Q}\pi)$$ 여기서 $e$는 $P$의 모서리, $\ell(e)$는 모서리의 길이, $\theta(e)$는 모서리 $e$에서 만나는 두 면의 이면각


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