"2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)"의 두 판 사이의 차이
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*** <math>b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1</math> | *** <math>b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1</math> | ||
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==메모== | ==메모== | ||
* http://akngs.tumblr.com/post/31121578650/2 | * http://akngs.tumblr.com/post/31121578650/2 | ||
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| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcG45U3dVWTEtelk/edit | ||
2013년 12월 2일 (월) 13:57 판
개요
- 루트 2, $\sqrt{2}$, 피타고라스 상수라 불리기도 함
- 무리수의 대표적인 예
- 방정식 $x^2=2$를 만족시키며, 대수적 수
연분수 전개
- 루트 2의 연분수 전개 \[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
- convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]
정수 수열
- 정수로 이루어진 수열 \(\{a_n\},\{b_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=a_n+\sqrt{2}b_n, n=0,1,\cdots\]
- 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
- \(a_{n+1}=a_n+2 b_n\), \(a_0=1\)
- \(b_{n+1}=a_n+b_n\), \(b_0=0\)
- 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
- \(a_n\) 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
- \(b_n\) 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
- 다음의 성질을 만족한다
- \(a_n/b_n\)는 루트 2로 수렴한다
- \(a_n/b_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
- \(a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n}\)
- \( \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n+1} \\ b_{n} & b_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} \)
- \(\{a_n\},\{b_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
- \(a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=1\)
- \(b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1\)
메모
매스매티카 파일 및 계산 리소스