"히포크라테스의 초승달"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 12일 (목) 01:14 판

작도와 구적가능성

구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음

히포크라테스의 초승달

히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

정리

어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용

구적가능한 초승달

초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능

\[ u=3/2,5/3,2,3,5 \]

이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 \(\sin \theta\)가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다

\[ \left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u \]

아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함

\(u=3/2\)

초승달의 넓이\[\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots\]
두 부채꼴의 각도 \[160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}\]

\(u=5/3\)

초승달의 넓이\[\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots\]
두 부채꼴의 각도 \[167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}\]

\(u=2\)

초승달의 넓이\[1\]
두 부채꼴의 각도 \[180^{\circ}, 90^{\circ}\]

\(u=3\)

초승달의 넓이\[\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots\]
두 부채꼴의 각도 \[205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}\]

\(u=5\)

초승달의 넓이\[\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots\]
두 부채꼴의 각도 \[234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}\]

사전형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

The Five Squarable Lunes
Postnikov, M. M., and Abe Shenitzer. 2000. “The Problem of Squarable Lunes.” The American Mathematical Monthly 107 (7) (August 1): 645–651. http://dx.doi.org/10.2307/2589121
Girstmair, Kurt. 2003. “Hippocrates’ Lunes and Transcendence.” Expositiones Mathematicae 21 (2): 179–183. http://dx.doi.org/10.1016/S0723-0869(03)80018-X
Chebotarev and his density theorem P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr

@@ 26번째 줄: / 26번째 줄: @@
 * 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
 * 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능
-$$
+:<math>
 u=3/2,5/3,2,3,5
-$$
+</math>
-* 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 $\sin \theta$가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다
+* 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 <math>\sin \theta</math>가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다
-$$
+:<math>
 \left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u
-$$
+</math>
 * 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함
-===$u=3/2$===
+===<math>u=3/2</math>===
-* 초승달의 넓이: $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots$
+* 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots</math>
-* 두 부채꼴의 각도 : $160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}$
+* 두 부채꼴의 각도 : <math>160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}</math>
 [[파일:히포크라테스의 초승달1.png]]
-===$u=5/3$===
+===<math>u=5/3</math>===
-* 초승달의 넓이: $\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots$
+* 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots</math>
-* 두 부채꼴의 각도 : $167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}$
+* 두 부채꼴의 각도 : <math>167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}</math>
 [[파일:히포크라테스의 초승달2.png]]
-===$u=2$===
+===<math>u=2</math>===
-* 초승달의 넓이: $1$
+* 초승달의 넓이: <math>1</math>
-* 두 부채꼴의 각도 : $180^{\circ}, 90^{\circ}$
+* 두 부채꼴의 각도 : <math>180^{\circ}, 90^{\circ}</math>
 [[파일:히포크라테스의 초승달3.png]]
-===$u=3$===
+===<math>u=3</math>===
-* 초승달의 넓이: $\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots$
+* 초승달의 넓이: <math>\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots</math>
-* 두 부채꼴의 각도 : $205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}$
+* 두 부채꼴의 각도 : <math>205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}</math>
 [[파일:히포크라테스의 초승달4.png]]
-===$u=5$===
+===<math>u=5</math>===
-* 초승달의 넓이: $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots$
+* 초승달의 넓이: <math>\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots</math>
-* 두 부채꼴의 각도 : $234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}$
+* 두 부채꼴의 각도 : <math>234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}</math>
 [[파일:히포크라테스의 초승달5.png]]