"히포크라테스의 초승달"의 두 판 사이의 차이
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* 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것. | * 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것. | ||
* 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말. | * 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말. | ||
| − | * [[작도문제와 구적가능성]] | + | * [[작도문제와 구적가능성]] 에서 간략하게 소개되어 있음 |
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어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다 | 어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다 | ||
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==구적가능한 초승달== | ==구적가능한 초승달== | ||
* 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미 | * 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미 | ||
* 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능 | * 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능 | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZktyNmVoQkJTNzg/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZktyNmVoQkJTNzg/edit | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates | * http://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
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** William Dunham | ** William Dunham | ||
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:13 판
작도와 구적가능성
- 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
- 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
- 작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음
히포크라테스의 초승달
- 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.
- 정리
어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다
- 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용
구적가능한 초승달
- 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
- 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능
\[ u=3/2,5/3,2,3,5 \]
- 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 \(\sin \theta\)가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다
\[ \left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u \]
- 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함
\(u=3/2\)
- 초승달의 넓이\[\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots\]
- 두 부채꼴의 각도 \[160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}\]
\(u=5/3\)
- 초승달의 넓이\[\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots\]
- 두 부채꼴의 각도 \[167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}\]
\(u=2\)
- 초승달의 넓이\[1\]
- 두 부채꼴의 각도 \[180^{\circ}, 90^{\circ}\]
\(u=3\)
- 초승달의 넓이\[\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots\]
- 두 부채꼴의 각도 \[205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}\]
\(u=5\)
- 초승달의 넓이\[\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots\]
- 두 부채꼴의 각도 \[234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}\]
관련된 항목들
관련된 고교수학 또는 대학수학
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전형태의 자료
관련도서
- Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics
- Chapter 1. Hippocrates' Quadrature of the Lune
- William Dunham
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- The Five Squarable Lunes
- Postnikov, M. M., and Abe Shenitzer. 2000. “The Problem of Squarable Lunes.” The American Mathematical Monthly 107 (7) (August 1): 645–651. http://dx.doi.org/10.2307/2589121
- Girstmair, Kurt. 2003. “Hippocrates’ Lunes and Transcendence.” Expositiones Mathematicae 21 (2): 179–183. http://dx.doi.org/10.1016/S0723-0869(03)80018-X
- Chebotarev and his density theorem P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr