데데킨트 제타함수

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• 데데킨트 제타함수

 

기호

• \(K\) 수체
• \(C_K\)  ideal class group

 

 

개요

• 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
  \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  
• 예
  
  • \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 리만제타함수를 얻음
• 전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, \(s=1\) 에서 simple pole을 가진다
• \(s=1\) 에서의 유수 (유수정리(residue theorem) ) 는 디리클레 class number formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula ) 로 주어진다
  \( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)
  
• \(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다
  \( \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\)
  

 

 

함수방정식

• 리만제타함수 의 함수방정식
  \(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\)
  \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
  
• 리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉  \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
• 데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립
  \(\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\)
  \(\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\)
  

 

 

부분제타함수

• 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
  \(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\)
  
• 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
  \(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\)
  
• 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
  \(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)
  

 

 

이차수체의 데데킨트 제타함수

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)

• 위에서 사용된 기호들에 대한 설명

\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설

\(L_{d_K}(s)\)는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)

\(\chi\)는 \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)

• 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
  
• 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
  

 

(정리)

\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여

\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)

(증명)

\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수

• 원분체의 데데킨트 제타함수 항목 참조
  
• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
  

 

 

special values

 

 

 

Klingen-Siegel 정리

• F : totally real  \([F: \mathbb{Q}]=n\)이라 하자
  적당한 유리수 \(r(m)\in \mathbb{Q}\)에 대하여
  \(\zeta_{F}(2m)=r(m)\frac{\pi^{2mn}}{\sqrt{|d_{F}|}}\), \(m>0\)
  
• http://planetmath.org/SiegelKlingenTheorem.html
  

 

 

 

Zagier, Bloch, Suslin

• \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
  \(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{F}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
  여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
  D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수
  \(a\sim b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함
  

 

 

복소이차수체의 데데킨트 제테함수

• 복소이차수체의 데데킨트 제테함수
  
• \(s=1\) 에서의 값
  
  • 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
    
  • 복소이차수체의 경우
    \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
    \(d_K=-q\)
    \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
    \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
    \(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
    \(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
     
    \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
    \(d_K=-4q\)
    \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
    \(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
    \(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
    
• \(s=2\) 에서의 값
  
  • 복소이차수체의 경우
    \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
    \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
    여기서 \(D(z)\)는 Bloch-Wigner dilogarithm
    
• \(s=1\) 에서의 \(L_{d_K}'(1)\)의 값
  
  • L-함수의 미분
    \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)
    

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

메모

• http://www.umpa.ens-lyon.fr/~brunault/recherche/parma.pdf

 

 

관련된 항목들

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• L-함수의 값 구하기 입문

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Hyperbolic volumes and zeta values An introduction
  
  • Matilde N. Lalin

 

 

관련논문

• Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions
  
  • Don Zagier, Inventiones Mathematicae, Volume 83, Number 2 / 1986년 6월
• D. Zagier, Polylogarithms, Dedekind zeta functions and the algebraic K-theory of fields http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/scanned/PolylogsDedekindZetaAndKTheory/fulltext.pdf
• Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds
  
  • A. Borel, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa8, 1–33 (1981)
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

 

 

관련링크와 웹페이지

• Tables of Values of Dedekind Zeta Functions