"데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이차수체의 데데킨트 제타함수</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이차수체의 데데킨트 제타함수</h5>
  
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
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[[search?q=%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%B2%B4%EC%9D%98%20%EB%8D%B0%EB%8D%B0%ED%82%A8%ED%8A%B8%20%EC%A0%9C%ED%83%80%ED%95%A8%EC%88%98&parent id=4533335|이차수체의 데데킨트 제타함수]]
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* 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨
 
  
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<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)</math>
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* 위에서 사용된 기호들에 대한 설명
 
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<math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
 
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<math>L_{d_K}(s)</math>는 디리클레 L 함수([[디리클레 L-함수]] 항목 참조)
 
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<math>\chi</math>는 <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>
 
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*  일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)<br>
 
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*  위의 경우는 <math>{d_K}=1\cdot d_K</math> 에 해당<br>
 
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(정리)
 
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<math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>)에 대하여
 
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<math>L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)</math>
 
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(증명)
 
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<math>L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
 
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">복소이차수체의 데데킨트 제테함수</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">복소이차수체의 데데킨트 제테함수</h5>
  
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* 복소이차수체의 데데킨트 제테함수<br>
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* [[복소이차수체의 데데킨트 제테함수]]<br>
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* <math>s=1</math> 에서의 값<br>
 
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** [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>
 
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**  복소이차수체의 경우<br><math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>, <math>q \geq 7</math> , <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우<br><math>d_K=-q</math><br><math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math><br><math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=i\sqrt{q}</math><br><math>L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}</math><br><math>h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}</math><br>  <br><math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>  , <math>q \geq 5</math> ,  <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우<br><math>d_K=-4q</math><br><math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=2i\sqrt{q}</math><br><math>L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}</math><br><math>h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}</math><br>
 
−
* <math>s=2</math> 에서의 값<br>
 
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**  복소이차수체의 경우<br><math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math><br><math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br> 여기서 <math>D(z)</math>는 [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|Bloch-Wigner dilogarithm]]<br>
 
−
* <math>s=1</math> 에서의 <math>L_{d_K}'(1)</math>의 값<br>
 
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** [[L-함수의 미분]]<br><math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math><br>
 
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2012년 6월 1일 (금) 08:48 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

기호
  • \(K\) 수체
  • \(C_K\)  ideal class group

 

 

개요
  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  • 예
  • 전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, \(s=1\) 에서 simple pole을 가진다
  • \(s=1\) 에서의 유수 (유수정리(residue theorem) ) 는 디리클레 class number formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula ) 로 주어진다
    \( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)
  • \(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다
    \( \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\)

 

 

함수방정식
  • 리만제타함수 의 함수방정식
    \(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\)
    \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
  • 리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉  \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
  • 데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립
    \(\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\)
    \(\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\)

 

 

부분제타함수
  • 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
    \(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\)
  • 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\)
  • 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
    \(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)

 

 

이차수체의 데데킨트 제타함수

이차수체의 데데킨트 제타함수

  •  

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수

 

 

special values

 

 

 

Klingen-Siegel 정리

 

 

 

Zagier, Bloch, Suslin
  • \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
    \(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{F}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
    여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
    D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수
    \(a\sim b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함

 

 

복소이차수체의 데데킨트 제테함수

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문

 

관련도서

 

 

 

관련링크와 웹페이지
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