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<h5>해석적연속(analytic continuation)</h5>
 
<h5>해석적연속(analytic continuation)</h5>
  
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* 자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
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자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
  
 
<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)</math>
 
<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)</math>
  
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* <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>
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* <math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{s/2} \frac{dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{\pi}n}\Gamma(\frac{s}{2})</math>
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<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>  임을 이용하여, <math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{s/2} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\frac{1}{n^s}\Gamma(\frac{s}{2})</math> 를 얻을 수 있음.
  
 
 
 
 
  
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형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해 주어짐.
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형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
  
 
<math>2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt</math>
 
<math>2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt</math>
  
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더 정확하게 쓰자면,
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그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음.
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세타함수의 성질을 이용하여, 모든 s에 대하여 정의된 적분을 쓰면,
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<math>\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt</math>
  
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<math>\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt</math>
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를 얻을 수 있게 된다.
  
 
 
 
 

2009년 4월 27일 (월) 09:38 판

간단한 소개
  • 리만 제타 함수는 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수.
  • 리만 가설

 

 

해석적연속(analytic continuation)

자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.

\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)

 

\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)  임을 이용하여, \(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{s/2} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\frac{1}{n^s}\Gamma(\frac{s}{2})\) 를 얻을 수 있음.

 

형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt\)

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음.

세타함수의 성질을 이용하여, 모든 s에 대하여 정의된 적분을 쓰면,

\(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt\)

를 얻을 수 있게 된다.

 

함수방정식
  • \(\xi(s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\)
  • \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
  • 이 함수방정식은 아래 식의 우변을 통해 알 수 있음.
    \(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-t^{-1/2})t^{s/2-1}\,dt +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt\)

 

 

 

 

 

 

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리만제타함수의 값
  •  

 

 

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