"리만 제타 함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 7월 8일 (수) 22:34 판

간단한 소개

리만 제타 함수는 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수.
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \Re s >1\)
위의 복소함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.

해석적확장 (analytic continuation)

자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)

감마함수
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
를 이용하면,
\(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\)
형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같은 수정이 필요.
모든 s에 대하여 정의된 적분은 다음과 같다.

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

여기서는 자코비 세타함수의 성질

\(\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\)

이 사용됨.

리만제타함수의 함수방정식

리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)

(증명)

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면,

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻는다.

이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 식을 변화시키지 않음므로 함수방정식을 얻는다.

맨 위의 적분에서는 자코비 세타함수의 모듈라 성질이 사용되었음.

(증명끝)

복소함수로서의 리만제타함수

meromorphic function
1에서 pole 을 가짐
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)\)

리만가설

메모

analytic continuation 해석적 접속
continuation 연속
continuation method 연속법
direct analytic continuation 직접해석접속

하위페이지

리만제타함수와 리만가설

리만제타함수의 값

표준적인 도서 및 추천도서

Riemann's Zeta Function
- Harold M. Edwards

위키링크

참고할만한 자료

Riemann's zeta function
- Williams, Floyd
- June 16, 2008
- MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
피타고라스의 창

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 <h5>해석적확장 (analytic continuation)</h5>
-* 자코비의 [[search?q=%20%EC%84%B8%ED%83%80%ED%95%A8%EC%88%98&parent id=3063010|세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
+* 자코비의 [[search?q=%20%EC%84%B8%ED%83%80%ED%95%A8%EC%88%98&parent id=3063010|세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math>
-<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)</math>
 * [[감마함수]]<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>  <br> 를 이용하면, <br><math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math> <br>
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 * 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같은 수정이 필요.
-* [[자코비 세타함수]]의 성질을 이용하여, 모든 s에 대하여 정의된 적분을 쓰면,
+* 모든 s에 대하여 정의된 적분은 다음과 같다.
 <math>\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
-를 얻게 됨.
+여기서는 [[자코비 세타함수]]의 성질
 <math>\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})</math>
+이 사용됨.
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 (증명)
-[[자코비 세타함수]] 의 성질을 사용한다.
+<math>\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
+이므로, <math>\xi(s)</math> 의 정의를 이용하면,
-<math>\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)</math> 와 <math>t=\frac{1}{y}</math> 를 이용하여 치환적분을 하면, 다음 식을 얻는다.
+<math>\xi(s)  = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
-<math>\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
+를 얻는다.
-<math>\xi(s)  = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
+이 식에서 <math>s \leftrightarrow 1-s</math> 는 식을 변화시키지 않음므로 함수방정식을 얻는다.
+맨 위의 적분에서는 [[자코비 세타함수]]의 모듈라 성질이 사용되었음.
-이 식에서 <math>s \leftrightarrow 1-s</math> 는 식을 변화시키지 않음므로 함수방정식을 얻는다.(증명끝)
+(증명끝)
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 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/22/611 리만의 제타함수 (8) : 소수는 무한히 많다(i)]
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/03/678 리만의 제타함수 (9) : 소수는 무한히 많다(ii)]
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