"뫼비우스 변환"의 두 판 사이의 차이

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* [[반전사상(inversion)]]
 
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* <math>z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}</math> 가 고전적인 반전사상. 하지만 복소함수로서 해석함수가 되지 않음
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* <math>z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}</math> 는 복소평면 상고전적인 반전사상. 하지만 복소함수로서 해석함수가 되지 않음
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* 뫼비우스 변환 <math>z \mapsto \frac{1}{z}</math> 는 고전적인 평면기하의 반전사상에 
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* 뫼비우스 변환 <math>z \mapsto \frac{1}{z}</math> 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성.
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* 해석함수가 됨.
  
 
 
 
 

2009년 6월 27일 (토) 19:20 판

간단한 소개
  • 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수
    \(\frac{az+b}{cz+d}\)
    로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함. (여기서 a,b,c,d는 \(ad-bc \neq 0\) 을 만족시키는 복소수)
  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
  • 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
  • 각도를 보존함.
  • 교차비를 보존함.
  • 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
  • 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.

 

 

반전사상
  • 반전사상(inversion)
  • \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상고전적인 반전사상. 하지만 복소함수로서 해석함수가 되지 않음
  • 뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성.
  • 해석함수가 됨.

 

 

메모
  • inverstion w.r.t. a circle
  • projection from one point
  • Cross ratio
    • central projection and cross ratio
    • inversion and cross ratio
  • application to Butterfly

 

 

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