양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

noncommutative geometry
\(uv=qvu\)
양자 5항 관계식 (5-term relation)
\((v)_{\infty}(u)_{\infty}=(u)_{\infty}(-vu)_{\infty}(v)_{\infty}\)

\(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
\(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
\(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
\(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)

\(\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \)

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \)

\(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(\Psi(z)=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

\(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,
\((x,e^{-t})_{\infty}=(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\)

목차