원주율(파이,π)

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원주율(파이,π)

개요

파이는 원의 둘레와 지름의 비율
- 모든 원은 서로 닮음이므로, 비율은 상수가 됨.

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3.141592...

비에타의 공식

1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
원주율의 무한곱 표현
\(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)

급수표현

1680년경에 발견된 라이프니츠 급수

\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

마친의 공식

1706년 발견된 마친(Machin)의 공식
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)

바젤문제와 파이

오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
정수에서의 리만제타함수의 값
\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)

산술기하평균함수와 파이

산술기하평균함수(AGM)와 파이)값의 계산

라마누잔의 공식

라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
라마누잔과 파이

파이와 2파이

수학의 많은 공식에서는 \(\pi\)가 아닌 \(2\pi\)가 자연스럽게 등장
파이가 아니라 2파이다?

메모

Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula

\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)

William Gosper used this series in
(a) Verify that the series is convergent.
(b) How many correct decimal places of \(\pi\) do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?

너드의 길

라마누잔과 파이

삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수