조화수열과 조화급수
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개요
- 조화수열의 정의
\(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)
- 오일러상수, 감마
[[오일러상수, 감마|]]\(\lim_{n\to\infty}H_{n}-\ln n=\gamma\)
\(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)
성질
생성함수
\(\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}\)
생성함수의 응용
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1} =\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)
\(z=e^{it}\), \(0 \leq t \leq \pi\) 에서
위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)
조화수열과 급수
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}\)
재미있는 사실
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수학용어번역
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- http://ko.wikipedia.org/wiki/조화급수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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