중심이항계수 (central binomial coefficient)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 6월 22일 (화) 19:47 판
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개요
  • 다음과 같은 이항계수로 정의
    \({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)

 

 

급수와 중심이항계수
  • 이항급수와 이항정리
    \(\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\)
  • 역삼각함수
    \(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
    \(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\)
  • 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수
    \(G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n\)

 

 

 

 중심이항계수가 나타나는 급수
  • [Lehmer1985] 

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\) 

(증명)

 \(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\) 를 얻는다. ■

 

 

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi(\frac{1}{3})-\psi(\frac{2}{3}))\) 

 여기서 \(\psi\)는 트리감마(trigamma)함수. 다이감마와 폴리감마 함수(digamma and polygamma functions) 항목 참조

(증명)

 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{u}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx\) ■

 

 

(Comtet의 공식)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\) 

 

(증명)

\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\) 의 양변을 \(2x\)로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자.

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\) 

우변으로부터 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}\)을 얻는다.

 

한편

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\) 이므로,

 \(x=\sin\frac{t}{2}\)로 치환하면,

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)  를 얻는다.

따라서,

\(\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\) 이다.

이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자.

\(\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\) 

 

 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\) 를 얻는다. ■

 

 

 

리만제타함수

\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)

 

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+log+%282x%29+*+%28arcsin+x%29%5E2%2Fx+dx+from+x%3D0+to+1%2F2

 

 

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수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • On the series Σk = 1∞(k2k)−1 k−n and related sums
    • I. J. Zucker, Journal of Number Theory, Volume 20, Issue 1, February 1985, Pages 92-102   
  • Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms
    • A.J. Van der Poorten, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286

 

 

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