푸리에 급수
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개요
- 주어진 함수의 삼각함수를 이용한 급수표현
- 열방정식을 푸는 과정에서 푸리에가 발견
정의
- \(2\pi\)를 주기로 가지는 함수 \(f\)
- 푸리에 계수의 정의
\(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0\)
\(b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1\) - 푸리에 급수
\(f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]\)
예1
- \(f(x)=x\), \(-\pi < x < \pi\)
\(f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\) - \(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\),\(0 < x \leq \pi\)
\(f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x\) - \(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)
\(f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\)
예2
- 로바체프스키와 클라우센 함수
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때,\(Cl_2(\theta)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sin n\theta\)
- 로그감마 함수
\(\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx\)
역사
메모
\(\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx\)
\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}\)
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
-
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourierseries+of+x
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourier+sine+series+of+x
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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