히포크라테스의 초승달

작도와 구적가능성

• 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
• 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
• 작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음

 

 

히포크라테스의 초승달

• 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

 

어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

• 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용

 

 

재미있는 사실

• 구적가능한 초승달은 다음의 다섯 가지 경우밖에 없음.
• 그림의 u값은 두 부채꼴의 중심각의 비율임.
• 증명은 아래의 Hippocrates' lunes and transcendence 를 참조할 것.

 

   

 

관련된 단원

• 작도

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 추상대수학

 

 

관련된 항목들

• 갈루아 이론
• 피타고라스의 정리
• 작도문제
• 가우스와 정17각형의 작도
• 겔폰드-슈나이더 정리
• 베이커의 정리

 

 

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Hippocrates_of_Chios
• http://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates

 

관련도서

• Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics
  
  • Chapter 1. Hippocrates' Quadrature of the Lune
  • William Dunham

 

관련논문

• Postnikov, M. M., and Abe Shenitzer. 2000. “The Problem of Squarable Lunes.” The American Mathematical Monthly 107 (7) (August 1): 645–651. http://dx.doi.org/10.2307/2589121
• Girstmair, Kurt. 2003. “Hippocrates’ Lunes and Transcendence.” Expositiones Mathematicae 21 (2): 179–183. http://dx.doi.org/10.1016/S0723-0869(03)80018-X
• Chebotarev and his density theorem P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr