양자 바일 대수와 양자평면

개요

$\mathbb{C}[q,q^{-1}]$ 위에서 u,v 로 생성되는 대수, $uv=qvu$ 를 만족시킴
q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

q-이항계수

세 변수 $x,y,q$ 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]

하이젠베르크 대수와의 관계

하이젠베르크 군과 대수
하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 $P,Q$

$$ [P,Q] = -i \hbar I $$

다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의

$$ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} $$

이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 (베이커-캠벨-하우스도르프 공식)

$$ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), $$ $$ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) $$ $$ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) $$

$U(\alpha)=e^{i\alpha P}$, $V(\beta)=e^{i\alpha Q}$, $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
적당한 completion을 거쳐 바일 $C^{*}$ 대수를 얻는다

realization

$u,v$를 $x$를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자

$$ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} $$

$(uvf)(x)=x f(x/q)$
$q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)$
따라서 $uv=qvu$

역사

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit

사전 형태의 자료

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관련논문

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Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” Communications in Algebra 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.