히포크라테스의 초승달

수학노트
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작도와 구적가능성

  • 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
  • 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
  • 작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음

 

 

히포크라테스의 초승달

  • 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

2981558-hippocrates.jpg

어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

  • 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용

 

 

구적가능한 초승달

  • 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
  • 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능

$$  u=3/2,5/3,2,3,5 $$

  • 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 $\sin \theta$가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다

$$ \left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u $$

  • 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함

$u=3/2$

  • 초승달의 넓이: $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots$
  • 두 부채꼴의 각도 : $160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}$

히포크라테스의 초승달1.png


$u=5/3$

  • 초승달의 넓이: $\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots$
  • 두 부채꼴의 각도 : $167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}$

히포크라테스의 초승달2.png


$u=2$

  • 초승달의 넓이: $1$
  • 두 부채꼴의 각도 : $180^{\circ}, 90^{\circ}$

히포크라테스의 초승달3.png


$u=3$

  • 초승달의 넓이: $\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots$
  • 두 부채꼴의 각도 : $205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}$

히포크라테스의 초승달4.png


$u=5$

  • 초승달의 넓이: $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots$
  • 두 부채꼴의 각도 : $234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}$

히포크라테스의 초승달5.png


 

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