가우스 합

개요

이차잉여의 상호법칙 을 증명하기 위해 가우스가 도입
유한군 위에 정의된 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있음
이차잉여에 등장하는 자코비 부호의 푸리에 변환
자코비 세타함수의 행동을 이해하는데 중요하다

초등정수론의 가우스합

정의

$p$ 는 홀수인 소수
가우스합을 다음과 같이 정의

\[G(p) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\]

또다른 정의

위의 정의 대신 다음 정의를 사용하기도 함

\[G'(p):=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\]

이 두 정의가 같음을 보이자

\[\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\]

증명

$A,B$를 다음과 같이 정의하자 \[A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}, \label{AQR}\] \[B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a\] 다음이 성립한다 \[A+B=-1 \label{sum}\] \[A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a \label{diff}\] \ref{sum}과 \ref{diff}의 양변을 더하여 다음을 얻는다 \[2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a\] 한편, \ref{AQR}로부터, \[2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\] 이므로, \[\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}\] 를 얻는다.■

정리

홀수인 소수 $p$에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.

$p \equiv 1 \pmod 4$ 일 때, $g_1(\chi)=\sqrt{p}$

$p \equiv 3 \pmod 4$ 일 때, $g_1(\chi)=i\sqrt{p}$

일반화

소수가 아닌 모든 자연수 $M$에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음

\[G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}\] $M \equiv 1 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=\sqrt{M}$

$M \equiv 2 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=0$

$M \equiv 3 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=i\sqrt{M}$

$M \equiv 0 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=(1+i)\sqrt{M}$

가우스합 S(p,q)와 상호법칙

$pq$가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의\[S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\]
$p=2$로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다\[S(2,q)=G(q)\]
성질\[S(ap,aq)=S(ap,aq)\]\[S(a^2p,q)=S(p,q)\]\[S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)\]
자코비 세타함수의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음.
가우스합의 상호법칙 자연수p,q에 대하여 $pq$가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.\[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\]
증명은 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation) 항목을 참조

디리클레 캐릭터와 가우스합

더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음
$a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}$와 준동형사상 $\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

\[g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}\] 여기서 $ \zeta = e^{2\pi i/f}$

소수 $p$에 대하여, $a=1$, $\chi(t)=\left(\frac{t}{p}\right)$로 두면, 맨 처음에 정의한 가우스합 $G(p)$을 다시 얻게 됨. $G(p)=g_1(\chi)$

정리

\[g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\] \[\chi(n)=\frac{1}{f}\sum_{(a,f)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/f}\]

정리

primitive인 준동형사상 $\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴

$\tau(\chi)=g_1(\chi)$라 두면, $|\tau(\chi)|=\sqrt{f}$

정리

실수값을 갖는 primitive인 준동형사상 $\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$에 대해서 다음이 성립한다.

$\chi(-1)=1$일때, $\tau(\chi)=\sqrt{f}$

$\chi(-1)=-1$일 때, $\tau(\chi)=i\sqrt{f}$

이차수체와 가우스 합

판별식이 $d_K$인 이차수체 $K$가 주어졌을 때, 임의의 홀수인 소수 $p\in \mathbb{Z}$에 대하여 아래의 조건을 만족하는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{C}^{\times}$가 존재한다

\[\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\]

$q \geq 2$ 는 소수라 가정하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$, $q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=-q$, $(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}$

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=-1$, $\tau(\chi)=i\sqrt{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 5$, $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=q$, $(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}$

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=1$, $\tau(\chi)=\sqrt{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 1$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=-4q$, $(\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}$

$n\in \mathbb{Z}$, $(n,4q)=1$ 에 대해서는

$\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$

$\chi(-1)=-1$, $\tau(\chi)=2i\sqrt{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 3$, $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=4q$, $(\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}$

일반적인$n\in \mathbb{Z}$, $(n,4q)=1$ 에 대해서는

$\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$

$\chi(-1)=1$, $\tau(\chi)=2\sqrt{q}$

정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합

$\zeta=e^{2\pi i \over 17}$ 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
$(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}$
이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- $A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}$
- $A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}$
- $A_0+A_1= -1$ 임은 쉽게 알 수 있음
- $A_0-A_1$ 는 가우스합이므로 $A_0-A_1=\sqrt{17}$
- $A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ , $A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$

메모

$\sqrt{y}\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjE2MTliMzMtYzk5Ni00M2YyLTkwYzctMjVkYjJiNzkwNTNk/edit

사전 형태의 자료

가우스 합

목차

개요

초등정수론의 가우스합

정의

또다른 정의

일반화

가우스합 S(p,q)와 상호법칙

디리클레 캐릭터와 가우스합

이차수체와 가우스 합

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 3\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 1\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합

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