스펙트럼 제타 함수

개요

$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$

$$ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} $$

$j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$ 이므로, $\Re s>\frac{1}{2}\dim M$에서 수렴
전체 복소평면으로 meromorphic 확장

$\tau=x+iy\in \mathbb{C}$가 $y>0$를 만족
$M=\mathbb{C}/L_{\tau}$ where $L_{\tau}=\{a+b\tau|a,b\in \mathbb{Z}\}$ 은 복소 타원 곡선
스펙트럼은 다음과 같이 주어짐 (모든 j에 대하여, $n_j=1$)

$$ \{\lambda_{mn}:=\frac{4\pi^2}{y^2}|m+n\tau|^2\}_{m,n\in \mathbb{Z}} $$

$$ \zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) $$ 여기서 $E(\tau,s)$는 실해석적 아이젠슈타인 급수 \[E(\tau,s)=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\]

크로네커 극한 공식로부터 $\zeta'_{M}(0)=-\log(y^2|\eta(\tau)|^4)$를 얻는다. 이 때, $\eta(\tau)$는 데데킨트 에타함수
따라서 라플라시안의 행렬식은 $\det -\Delta=y^2|\eta(\tau)|^4$