스펙트럼 제타 함수

개요

• 컴팩트 리만 다양체 \(M\) 에 정의된 라플라시안(Laplacian) \(\Delta\)의 스펙트럼을 이해하기 위한 해석적 도구
• \(-\Delta\) 는 positive이고, 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐

\[0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty\]

• \(n_j\)를 \(\lambda_j\)의 고유벡터의 차원이라 하면, 스펙트럼 제타함수는 다음과 같이 정의

\[ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} \]

• \(j\to \infty\)일 때, \(\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}\) 이므로, \(\Re s>\frac{1}{2}\dim M\)에서 수렴
• 전체 복소평면으로 meromorphic 확장

라플라시안의 행렬식

• \(\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}\)

예

• \(\tau=x+iy\in \mathbb{C}\)가 \(y>0\)를 만족
• \(M=\mathbb{C}/L_{\tau}\) where \(L_{\tau}=\{a+b\tau|a,b\in \mathbb{Z}\}\) 은 복소 타원 곡선
• 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐 (모든 j에 대하여, \(n_j=1\))

\[ \{\lambda_{mn}:=\frac{4\pi^2}{y^2}|m+n\tau|^2\}_{m,n\in \mathbb{Z}} \]

• 스펙트럼 제타함수는 다음과 같다

\[ \zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) \] 여기서 \(E(\tau,s)\)는 실해석적 아이젠슈타인 급수 \[E(\tau,s)=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\]

• 크로네커 극한 공식로부터 \(\zeta'_{M}(0)=-\log(y^2|\eta(\tau)|^4)\)를 얻는다. 이 때, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
• 따라서 라플라시안의 행렬식은 \(\det -\Delta=y^2|\eta(\tau)|^4\)

관련된 항목들

• 라플라시안(Laplacian)
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
• Epstein 제타함수
• 크로네커 극한 공식
• L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수

수학용어번역

• spectral - 대한수학회 수학용어집

관련논문

• Buckley, Jeremiah, and Igor Wigman. “On the Number of Nodal Domains of Toral Eigenfunctions.” arXiv:1511.04382 [math-Ph], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04382.
• Lester, Stephen, and Zeév Rudnick. “Small Scale Equidistribution of Eigenfunctions on the Torus.” arXiv:1508.01074 [math-Ph], August 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01074.
• Karpukhin, Mikhail A. ‘Upper Bounds for the First Eigenvalue of the Laplacian on Non-Orientable Surfaces’. arXiv:1503.08493 [math], 29 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.08493.
• Li, Peter, and Shing-Tung Yau. ‘A New Conformal Invariant and Its Applications to the Willmore Conjecture and the First Eigenvalue of Compact Surfaces’. Inventiones Mathematicae 69, no. 2 (1 June 1982): 269–91. doi:10.1007/BF01399507.
• Yang, Paul C., and Shing-Tung Yau. ‘Eigenvalues of the Laplacian of Compact Riemann Surfaces and Minimal Submanifolds’. Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa - Classe Di Scienze 7, no. 1 (1980): 55–63.
• Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5.

리뷰, 에세이, 강의노트

• Alexander Strohmaier, Computation of Eigenvalues, Spectral Zeta Functions and Zeta-Determinants on Hyperbolic Surfaces, arXiv:1604.02722 [math.NA], April 10 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02722