Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리

지겔의 정리

\(\Gamma\) : Fuchsian 군
\(\mathbb H\) : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합)

정리 (지겔): fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\)의 면적은 \(\pi \over 21\) 이상이다.

증명

곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면, 그 넓이는 \(\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.

fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\) 에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자.

\(\mathbb H/\Gamma\) 의 면적은 다음과 같다 \[A=2e\pi - 2\pi -2\pi \sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}=2\pi(e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i})\] 여기서 \({l_i}\) 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임.

다음을 얻는다. \[{A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\label{sieg1}\]

오일러의 정리 \(v-e+1=2-2g\) 로부터 , \(e-1=v+2g-2\)를 식 \ref{sieg1}에 대입하면, 다음을 얻는다. \[{A \over{2\pi}}=2g-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})\]

\(A>0\)이므로, 다음의 부등식이 성립해야 한다 \[-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})>0\]

\({l_i}\geq2\) 이므로, \(v\geq 3\)

\(v=3\) 이면, \(1-\frac{1}{l_ 1}-\frac{1}{l_ 2}-\frac{1}{l_ 3}>0\) 는 \(l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7\) 의 경우에 최소값을 갖는다.

따라서, 최소값은 \(g=0,v=3, l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7\) 인 경우에 얻어지며 그 값은 \({A \over{2\pi}}= 1/42\)이다. (증명끝)

메모

\( Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma\)

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

\(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.

그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

\( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}\)

로 주어진다. 이를 _triangle _group (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

\( Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}\)

한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도

\( \frac{\pi}{42}\)

의 두배 이상은 되어야 한다. 즉

\(Area (U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)

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