리만 제타 함수

간단한 소개

리만 제타 함수는 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수.
리만 가설

해석적확장(analytic continuation)

자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.

\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)

\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\) 임을 이용하여, \(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\) 를 얻을 수 있음.

형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음.

세타함수의 성질을 이용하여, 모든 s에 대하여 정의된 적분을 쓰면,

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻을 수 있게 된다.

함수방정식

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\) 와 \(t=\frac{1}{y}\) 를 이용하여 치환적분을 하면, 다음 식을 얻는다.

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

\(\xi(s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\)
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
함수방정식은 아래 식의 우변을 통해 알 수 있음.

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

리만가설

메모

analytic continuation 해석적 접속
continuation 연속
continuation method 연속법
direct analytic continuation 직접해석접속

하위페이지

리만제타함수와 리만가설

리만제타함수의 값

표준적인 도서 및 추천도서

Riemann's Zeta Function
- Harold M. Edwards

위키링크

참고할만한 자료

Riemann's zeta function
- Williams, Floyd
- June 16, 2008
- MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
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