리만 제타 함수

간단한 소개

리만 제타 함수는 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수.
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \Re s >1\)
위의 복소함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.

해석적확장 (analytic continuation)

자코비의 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.

\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)

감마함수
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
를 이용하면,
\(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\)
형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같은 수정이 필요.
자코비 세타함수의 성질을 이용하여, 모든 s에 대하여 정의된 적분을 쓰면,

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻게 됨.

리만제타함수의 함수방정식

리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)

(증명)

자코비 세타함수 의 성질을 사용한다.

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\) 와 \(t=\frac{1}{y}\) 를 이용하여 치환적분을 하면, 다음 식을 얻는다.

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

이 식에서

함수방정식은 위의 식을 통해 알 수 있음. (증명끝)

복소함수로서의 리만제타함수

meromorphic function
1에서 pole 을 가짐
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)\)

리만가설

메모

analytic continuation 해석적 접속
continuation 연속
continuation method 연속법
direct analytic continuation 직접해석접속

하위페이지

리만제타함수와 리만가설

리만제타함수의 값

표준적인 도서 및 추천도서

Riemann's Zeta Function
- Harold M. Edwards

위키링크

참고할만한 자료

Riemann's zeta function
- Williams, Floyd
- June 16, 2008
- MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
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