뫼비우스 변환
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 6월 30일 (화) 15:17 판
간단한 소개
- 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수
\(f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0\)
로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함.
- bilinear 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
- 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
- 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
- 각도를 보존함.
- 교차비를 보존함.
- 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
- 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.
반전사상과 뫼비우스 변환
- 반전사상(inversion)
- \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
- 뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.
한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환
- 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 \(P'\)가 있다.
- 직선 A 위의 점 \(P\)와 \(P'\)를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 \(\pi(P)\) 라 하자.
- \(\pi :A \to B\) 를 이와 같이 정의할 수 있다.
- 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.
교차비와 뫼비우스 변환
- 뫼비우스 변환이 네 점, \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 를 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.
\(\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}\)
- 교차비는 보존하는 복소함수가 네 점 \(z,z_2,z_3,z_4\)를 \(w,1,0,\infty\)로 보낼 경우,
\((z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)\) 로부터 뫼비우스변환 \(w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}\) 를 유도할 수 있음.
- 교차비 항목 참조
사영기하학과 뫼비우스 변환
세 점
- 사영기하학의 관점에서 \(\{0,1,\infty\}\)의 선택이 좋은 이유
- \(0\) 은 기준점의 역할
- \(1\) 은 단위길이를 결정
메모
- Cross ratio
- central projection and cross ratio
- inversion and cross ratio
- application to Butterfly
하위페이지
재미있는 사실
관련된 단원
많이 나오는 질문
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
- 17 Plane Crystallographic groups
- Finite reflection groups and Coxeter groups
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
- 나비정리
- 반전사상(inversion)
관련도서 및 추천도서
- The Geometry of Discrete Groups (Graduate Texts in Mathematics)
- Alan F. Beardon
- Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint
- Gareth A. Jones and David Singerman
- Gareth A. Jones and David Singerman
-
Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein
- Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David
- 도서내검색
- 도서검색
참고할만한 자료
- Finite Groups, Wallpaper Patterns and Non-Euclidean Geometries
- A. F. Beardon
- The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 422 (Dec., 1978), pp. 267-278
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_transformation
- http://viswiki.com/en/
- http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
- http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
- 대한수학회 수학 학술 용어집
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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동영상
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- Moebius Transformations Revealed
- Youtube
- 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
- 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
- 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.