정다각형의 대각선의 길이

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 12월 29일 (목) 06:16 판
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개요
  • 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐
    \(r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}}\) , \(i=0,1,\cdots,n-2\)
    여기서 \(r_0=1\), \(r_{n-2}=1\)
  • 톨레미의 정리
  • 그림은 정칠각형 의 경우
    [/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]

 

 

대각선이 만족시키는 항등식 1
  • \(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\), \(0\leq k\leq h<n/2\).  우변은 k+1개항의 합.
    \(r_0r_0=r_0\)
    \(r_1r_0=r_1\)
    \(r_1r_1=r_0+r_2\)
    \(r_2r_0=r_2\)
    \(r_2r_1=r_1+r_3\)
    \(r_2r_2=r_0+r_2+r_4\)
    \(r_3r_0=r_3\)
    \(r_3r_1=r_2+r_4\)
    \(r_3r_2=r_1+r_3+r_5\)
    \(r_3r_3=r_0+r_2+r_4+r_6\)

(증명)

삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식 을 이용하자.

\(\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}\)

\(\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\)

\(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\) ■

 

 

대각선이 만족시키는 항등식 2
  • \(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3\)

(증명)

항등식 1을 이용.

■

 

 

 

정사각형의 대각선

 

정사각형의 대각선의 길이

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다.  "루트2는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.

 

 

정오각형의 대각선
  • 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

 

정칠각형의 대각선

 

 

몇달전에 공부하는 과정에서 \(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}\) 와 같은 점화식을 해결해야 한 적이 있었다. 후에 정다각형의 대각선의 길이가 똑같은 관계를 만족시킨다는 것을 알게 되어 재밌게 여긴 적이 있었다. 이를 기회로 하여 해보는 정다각형의 대각선 길이에 대한 이야기이다.

 

 

 

정오각형의 대각선의 길이

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이 황금비가 된다는 것을 잘 알려진 사실이다.

[/pages/3002548/attachments/4415551 pentagon(1).png]

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

정오각형의 한 변의 길이가 1인 경우, 즉 \(a=1\)인 경우에 b는 황금비가 된다.

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC와 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해, 

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.

\(b^2 - ab - a^2 = 0\)

\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\)■

 

 

톨레미의 정리

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또 다른 방법의 하나는 평면기하의 톨레미의 정리를 이용하는 것이다. 톨레미의 정리는 다음과 같다 :

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다.

즉, 아래그림에서 \(\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\) 이 성립한다.

[/pages/3324857/attachments/3540037 PtolemyQD.jpg]

 

 

 

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또다른 방법 - 톨레미의 정리의 응용

톨레미의 정리를 아래의 그림에 적용해 보면,

[/pages/3002548/attachments/4415551 pentagon(1).png]

사각형 ABCD가 원에 내접하고 있으므로, 두 대각선 AC와 BD의 길이의 곱으로부터 \(\overline{AC}\cdot \overline{BD}=b^2\)을 얻고, \(\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}=a^2+ab\)를 얻을 수 있다.

이로부터 \(b^2 - ab - a^2 = 0\)를 얻을 수도 있다.

 

 

 

정육각형의 대각선의 길이

각 변의 길이가 1인 정육각형의 대각선의 길이는 \(\sqrt{3}\)과 2가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.

 

 

정칠각형의 대각선의 길이

정칠각형의 대각선의 길이도 마찬가지로 톨레미의 정리를 여러번 적용하면 구할 수 있다.

[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]

한변의 길이 \(r_0=1\) 라 두고, 톨레미의 정리를 적용하면,

\(r_1^2=1+r_2\)

\(r_2r_1=r_1+r_2\)

\(r_2^2=r_2r_1+1\)

와 같은 관계를 얻을 수 있다.

 

이를 이용하면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있다.

\(r_1\)은 \(x^3-x^2-2x+1=0\) 의 해이고, \(r_2\)은 \(x^3-2x^2-x+1=0\) 의 해이다.

(증명)

\(r_2=r_1^2-1\) 이므로, \(r_2r_1=r_1+r_2\)로부터 \(r_1(r_1^2-1)=r_1+r_1^2-1\).

\(r_2^2=r_2r_1+1=r_1+r_2+1\) 이므로, \(r_1=r_2^2-r_2-1\). 이제 \(r_2r_1=r_1+r_2\)로부터, \(r_2(r_2^2-r_2-1)=r_2^2-r_2-1+r_2\). ■

이제 3차 방정식을 풀면 된다.

 

정다각형의 대각선의 길이에 대한 일반적인 정리들

한변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 아래 그림에서와 같이 순서대로  \(r_0,r_1,\cdots, r_{n-2}\) 로 나타내면,

[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]

사인 정리를 이용하여

\(r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}}\) , \(i=0,1,\cdots,n-2\)

가 됨을 보일 수 있다.

 

이 사실을 이용하면 대각선의 길이가 여러가지 흥미로운 항등식을 만족시킨다는 것을 알 수 있다.

\(0\leq k\leq h<n/2\)인 경우, \(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\)가 성립한다. 여기서 우변은 k+1개항의 합.

리대수의 표현론을 공부해본 사람이라면, 비슷한 점을 발견할 수 있을 것이다.

이 점화식을 이용하면, \(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3\) 가 성립하는 것을 보일 수 있다.

이는 제2종 체비셰프 다항식이 만족시키는 항등식 \(U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)\) 을 닮았다.

이러한 현상들을 어떻게 이해하면 좋을까?

 

 

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