정수에서의 리만제타함수의 값

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 11일 (토) 14:45 판
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간단한 소개
  • 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.
    \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수. 
    \(\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1\)
    \(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\)

 

 

증명

 

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}\)\(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원

\(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면,  \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는  \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다. 

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

 

그러므로 \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}\)

The sum of the residues yields precisely twice the desired summation plus the residue at zero.

Because the integral approaches zero, the sum of all the residues must be zero.

The summation must therefore equal minus one half times the residue at zero.

the residue at zero is \(-\pi^{4}/45\) which yields the desired result.

 

 

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