파울리 행렬

수학노트
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개요
  • 파울리 행렬 (해밀턴의 사원수 참조)
    \(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
    \(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
    \(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)

 

 

commutator
  • \(\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\)

 

 

anti-commutator
  • \(\left\{\sigma _i,\sigma _j\right\}=2\delta _{i j}\)
  • \(\left\{I,\sigma _1,\sigma _2,\sigma _3,iI,i \sigma _1,i \sigma _2,i \sigma _3\right\}\) 를 기저로 갖는  클리포드 대수를 얻는다
  • 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수\(C(E_{3})\)와 동형이다

 

 

sl(2)
  • raising and lowering 연산자
    \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
    \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
    \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
    \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

 

 

스핀

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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