푸앵카레 상반평면 모델

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 16일 (월) 13:54 판
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개요

 

 

정의
  • \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)

 

 

 
제1기본형식
  • 리만 메트릭
    \(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\)
  • \(E=1/y^2\)
  • \(F=0\)
  • \(G=1/y^2\)
  • 면적소
    \(dA=\frac{dx\,dy}{y^2}\)
  • 두 점 사이의 거리
    \(\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|}\)

 

크리스토펠 기호
  • 크리스토펠 기호
    \(\Gamma^1_{11}=0\)
    \(\Gamma^2_{11}=1/y\)
    \(\Gamma^1_{12}=-1/y\)
    \(\Gamma^2_{12}=0\)
    \(\Gamma^1_{22}=0\)
    \(\Gamma^2_{22}=-1/y\)

 

  • isometry 군
    \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
  • 가우스곡률

 

라플라시안
  • 라플라시안
    \(\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})\)

 

 

측지선
  • 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다
    \(\frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1 }}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0\)
    \(\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_{~2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0\)
  • 다시 쓰면 다음과 같다
    \(\ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0\)
    \(\ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0\)
  • 미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다
    실직선에 수직인 반원 \(x(t)=a+b\tanh(rt+c)\), \(y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c)\)  (\(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\) 쌍곡함수)
    또는
    y-축과 평행한 직선 \(x(t)=a\), \(y(t)=be^{rt+c}\)

 

 

쌍곡삼각형의 넓이

 

[/pages/3065168/attachments/2616929 hyperbolic_triangle.jpg]

  • 이상삼각형(ideal triangle) \(D=pq\infty\)의 넓이
    \(x(P)\) 를 점 \(P\)의 \(x\)좌표라 하고, \(x(p)=a\), \(x(q)=b\)라 두자.
    \(A(D)=\int\int_{D}\frac{dx\,dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\int_{\pi-\alpha}^{\beta+\beta'}\,d\theta=\pi-\alpha-\beta-\beta'\)
    \(x=\cos \theta\)로 치환, \(a=\cos (\pi-\alpha)\), \(b=\cos (\beta+\beta')\)을 사용하였음
  • 이상삼각형(ideal triangle) \(D'=rq\infty\)의 넓이
    위에서 얻은 결과를 적용할 수 있다
    \(A(D')=\pi-(\pi-\gamma)-\beta'=\gamma-\beta'\)

 

(정리)

세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)인 쌍곡삼각형 \(\Delta\)의 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다

 

(증명)

\(A(\Delta)=A(D)-A(D')=\pi-\alpha-\beta-\beta'-(\gamma-\beta')=\pi - \alpha- \beta- \gamma\) ■

 

 

 

쌍곡기하학의 삼각형

위의 그림들처럼 그 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림은, 지금 나온것만 해도 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학을 이어주기 때문에, 중요하다. 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, Modular group이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 \( (2, 3, \infty)\)이다.


 

사 람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. 각도가 모든 것을 결정한다!!! 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면 그 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 가 된다.

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

\(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.


그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

\(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

로 주어진다. 이를 (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

\(\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}\)

 

 

 

테셀레이션

[/pages/3065168/attachments/2600953 dedekind1877.gif]

 

 

 

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