푸앵카레의 추측

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 4일 (금) 19:32 판
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개요

단순연결된 콤팩트  

  • 대수적위상수학 에서 가져옴
  • 호모토피
    • 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
      • 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
    • 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

[/pages/1954084/attachments/888134 180px-Homotopy_between_two_paths.png]

  • fundamental group
    • 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
    • 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
    • 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
    • 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
    • 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
    • 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
  • 단일연결된 공간(simply connected space)
    • 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
      • 구면은 단일연결되어있음.
      • 도넛은 단일연결되어있지 않음.
  •  
    • 포앵카레의 추측

 

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