앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)

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앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)

개요

로저스-라마누잔 연분수와 항등식의 일반화
모듈라 성질을 가지며(모듈라 형식(modular forms) 참조), q-초기하급수(q-hypergeometric series) 형태로 표현 가능
등각장론에서 c(2, 2k+1) minimal 모형에 의해 주어지는 표현의 캐릭터\[\chi_j(\tau)=q^{h_j-c/24}\prod_{n\neq 0,\pm(j+1)}(1-q^n)^{-1}\]

항등식

자연수 \(k\geq 2\) , \(1\leq i \leq k\)에 대하여, 다음이 성립한다\[\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} \]
여기서 \(j\leq k-1\)이면 \(N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}\) , \(j=k\)이면 \(N_j=0\)
여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다\[\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}\]

k=2인 경우 : 로저스-라마누잔 항등식

k=2인 경우, 로저스-라마누잔 연분수와 항등식을 얻는다
i=1인 경우
\(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)
i=2인 경우\[G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\]

k=3인 경우

i=1인 경우\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]
i=2인 경우\[\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 2 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\]
i=3인 경우

\(\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{q^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}}}{(q)_{n_1}(q)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 3 \pmod {7}}\frac{1}{1-q^r}=\frac{(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}{(q)_\infty}\)

얻어지는 이차형식

\(n_{1}^{2}\)

\((n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}\)

\((n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}\)

\((n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}\)

행렬은

\(\text{A=}\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 8 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array} \right)\)

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