가위 합동 (scissors congruence)

개요

• 힐베르트 3번 문제
• 덴 불변량
• 덴-사이들러 정리

힐베르트 3번 문제

• 부피가 같은 두 다면체에 대하여 서로 합동인 다면체로의 분할을 찾을 수 있는지 (즉 가위합동인지) 에 대한 문제
• 덴이 도입한 덴 불변량을 이용하여 해결됨
  • 부피가 같으나 가위 합동이 아닌 다면체가 존재함

덴 불변량

• $\mathbb{R}^3$의 3차원 polytope $P$에 대하여, 덴 불변량 $D:\mathcal{P}(\mathbb{R}^3)\to \mathbb{R}\otimes \mathbb{R}/\mathbb{Q}\pi$을 다음과 같이 정의

$$\operatorname{D}(P) = \sum_{e} \ell(e)\otimes (\theta(e)+\mathbb{Q}\pi)$$ 여기서 $e$는 $P$의 모서리, $\ell(e)$는 모서리의 길이, $\theta(e)$는 모서리 $e$에서 만나는 두 면의 이면각

메모

• http://www.math.csi.cuny.edu/abhijit/talks/scissors_slides.pdf
• http://www.math.brown.edu/~res/mathnotes.html
• Scissors Congruence : The Birth of Hyperbolic Volume

관련된 항목들

• 로바체프스키 함수

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• 박부성, 각뿔의 부피는?, 네이버 캐스트
• Johan L Dupont What is a Scissors Congruence?
• Neumann, Walter D. 1997. “Hilbert’s 3rd Problem and Invariants of 3-manifolds.” arXiv:math/9712226 (December 4). http://arxiv.org/abs/math/9712226.

관련도서

• Johan L Dupont Scissors Congruences, Group Homology And Characteristic Classes
• Boltjansky, V. G. 1978. Hilbert’s Third Problem. John Wiley & Sons Inc.

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_third_problem
• http://ncatlab.org/nlab/show/scissors+congruence