슈르 다항식(Schur polynomial)
개요
정의
- 변수의 개수 n과 d의 (0을 허용하며, 크기가 n인) 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
- 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
- \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
- d의 (크기가 n인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
- 다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]
- \ref{van}의 $a_{\rho}$는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
- 슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 \[s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\]
- 교대다항식을 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, 대칭다항식이 된다
예
- 변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식
\[ \left( \begin{array}{cc} \{4,0,0,0\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1,0,0\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2,0,0\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1,0\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right) \]
영 태블로
- 영 태블로(Young tableau)를 이용한 슈르 다항식의 표현
\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 T는 λ 형태의 준표준 영 태블로
- 예 $n=3$, $\lambda=(2,1,1)$의 경우, $s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2$
\begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}
\begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}
\begin{array}{cc}
\boxed{1} & \boxed{3} \\
\boxed{2} & {} \\
\boxed{3} & {} \\
\end{array}
The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)
- 슈르 다항식은 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 다항식으로 표현할 수 있다
- \(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)
- 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다 \[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]
- 예. \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]
역사
메모
- 슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
- \(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
사전 형태의 자료
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Macdonald, I. G. 1992. “Schur Functions: Theme and Variations.” In Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Saint-Nabor, 1992), 498:5–39. Publ. Inst. Rech. Math. Av. Strasbourg: Univ. Louis Pasteur. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1308728. http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s28macdonald.pdf