이차형식 x^2+xy+y^2
개요
- 두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+x y+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
- 소수 \(p\)에 대하여, \(p=3\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 3\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+x y+y^2\) 형태로 표현가능
$x^2+x y+y^2$꼴로 표현되는 정수
$x^2+x y+y^2$꼴로 표현되는 400까지의 정수
- 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 64, 67, 73, 75, 76, 79, 81, 84, 91, 93, 97, 100, 103, 108, 109, 111, 112, 117, 121, 124, 127, 129, 133, 139, 144, 147, 148, 151, 156, 157, 163, 169, 171, 172, 175, 181, 183, 189, 192, 193, 196, 199, 201, 208, 211, 217, 219, 223, 225, 228, 229, 237, 241, 243, 244, 247, 252, 256, 259, 268, 271, 273, 277, 279, 283, 289, 291, 292, 300, 301, 304, 307, 309, 313, 316, 324, 325, 327, 331, 333, 336, 337, 343, 349, 351, 361, 363, 364, 367, 372, 373, 379, 381, 387, 388, 397, 399, 400
$x^2+x y+y^2$꼴로 표현되는 400까지의 소수
- 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397
자연수를 $x^2+x y+y^2$꼴로 표현하는 방법의 수
- 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 디오판투스 방정식 \(x^2+x y+y^2=n\)의 해의 개수를 \(a(n)\)라 하자
- $\{a(n)\}_{n\geq 0}$은 다음과 같은 수열이다
$$ 1,6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, \ 0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, \ 0, 0, 0, 0, 6, 18, 0,\cdots $$
- 정리
\[a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)\] 여기서 $\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)$
- 증명
페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리에서의 증명과 같다.
이차형식 $Q(x,y)=x^2+x y+y^2$에 대한 Epstein 제타함수 $\zeta_Q(s)$는 다음을 만족한다 $$ \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+x y+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^{s}} $$ 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$의 데데킨트 제타함수 $\zeta_{K}(s)$는 다음을 만족한다 $$ \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/6 $$ 한편 $\zeta_{K}(s)$는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조) $$ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-3}(s) \label{dec} $$ 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수, $L_{-3}(s)$는 아래의 디리클레 L-함수 \[L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}\] \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 $$ \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} $$ 따라서 $a(n)=6\sum_{d|n}\chi(d)$. ■
이차형식의 합성
$$ (u^2+u v+v^2)(x^2+x y+y^2)=(u x+v y)^2+(u x+v y) (v x+u y+v y)+(v x+u y+v y)^2 $$
세타함수
$$ \begin{aligned} \theta_Q(\tau)=&\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}q^{x^2+x y+y^2}\\ =& 1+6 q+6 q^3+6 q^4+12 q^7+6 q^9+6 q^{12}+12 q^{13}+6 q^{16}+12 q^{19}+12 q^{21}+6 q^{25}+6 q^{27}+12 q^{28}+12 q^{31}+6 q^{36}+12 q^{37}+12 q^{39}+12 q^{43}+6 q^{48}+18 q^{49}+O(q^{51}) \end{aligned} $$
- 포아송의 덧셈 공식을 적용하여 다음을 얻는다
$$ \sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\pi t (x^2+x y+y^2)}=\frac{2}{t\sqrt{3}}\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2}e^{-\frac{4\pi}{3t}(x^2+x y+y^2)} $$
- 함수 $f(x_1,x_2) = e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)}$의 푸리에 변환은 다음과 같다
$$ \hat{f}(\xi_1,\xi_2)=\frac{2}{\sqrt{3} t}e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}} $$