숫자 163

개요

$e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744$
$e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744$
$e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744$
이 숫자들은 정수에 매우 가까우며, 셋 모두 끝 세 자리가 744
$\sqrt[3]{e^{\sqrt{163} \pi }-744}=640319.999999999999999999999999390317352\cdots $
$\sqrt[3]{e^{\sqrt{67} \pi }-744}=5279.999999999999984007382352249\cdots$
$\sqrt[3]{e^{\sqrt{43} \pi }-744}=959.99999999991951173$

라마누잔은 $e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\cdots$ 와 같은 계산을 많이 남겼음
이와 유사한 공식들을 $\pi$ 의 근사공식에 사용. 라마누잔과 파이 항목을 참조
In his Field’s Medal lecture, Richard Borcherds said that every mathematician should see once in his/her life why this should be the case (citation needed)
$x^2+x+41$는 정수 $-40\leq x\leq 39$ 에 대하여, 모두 소수가 된다
겔폰드-슈나이더 정리 를 사용하면, $e^{\pi \sqrt{163}}=(e^{-i\pi})^{\sqrt{-163}}=(-1)^{\sqrt{-163}}$ 이므로 초월수임을 알 수 있다
- http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Davis311-320.pdf