2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

개요

루트 2의 연분수 전개 \[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]

정수로 이루어진 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=a_n+\sqrt{2}b_n, n=0,1,\cdots\]
이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
- $a_{n+1}=a_n+2 b_n$, $a_0=1$
- $b_{n+1}=a_n+b_n$, $b_0=0$
처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
- $a_n$ 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
- $b_n$ 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
다음의 성질을 만족한다
- $a_n/b_n$는 루트 2로 수렴한다
- $a_n/b_n$는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
- $a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n}$
- $ \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n+1} \\ b_{n} & b_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} $
- $\{a_n\},\{b_n\}$ 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
  - $a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=1$
  - $b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=0, b_1=1$