Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)

개요

q의 의미

양자를 뜻하는 quantum의 첫글자
극한 \(q \to 1\)로 갈 때, 고전적인 경우를 다시 얻게 된다
h를 파라메터로 사용하는 경우(플랑크상수에서 빌려옴), 극한 \(h \to 0\)를 통하여 고전적인 경우를 얻고, \(q=e^h\)를 만족시킨다
유한체의 원소의 개수를 보통 q로 나타냄

실수의 q-analogue

실수 \(\alpha\)에 대하여 다음과 같이 정의\[[\alpha]_q =\frac{1-q^{\alpha}}{1-q} \]

극한 \(q \to 1\)\[\frac{1-q^{\alpha}}{1-q} \to \alpha\]

q-차분연산자

미분에 대응\[D_qf(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{x-qx}=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x}\]

basic 초기하급수 (q-초기하급수)

초기하급수의 q-analogue

\[_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right]=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1;q)_n(a_2;q)_n\cdots (a_{j};q)_n} {(q;q)_n(b_1;q)_n,\cdots (b_k,q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n\]

q-초기하급수 또는 basic 초기하급수로 불림
오일러의 분할수에 대한 연구에서 다음과 같은 등식이 얻어짐 \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
로저스-라마누잔 연분수와 항등식 을 이해하는 틀을 제공

q-초기하급수에 대한 오일러공식

오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식

\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\] \[\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

q-초기하급수의 예

q-이항정리

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-aq^n z}{1-q^n z}, |z|<1\]

로저스-라마누잔 항등식

\[R(z)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\] \[H(q)=R(q)\] \[G(q)=R(1)\]

\(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{1}{2}}\) 인 경우

\[G(q) =1+ \sum_{n=1}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n}\]

\(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{3}{2}}\) 인 경우\[H(q) =1+\sum_{n=1}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n}\]

라마누잔의 mock 세타함수

라마누잔 3rd order mock 세타함수

\[f(q)=1+\sum_{n\ge 1} \frac{q^{n^2}}{(1+q)^2(1+q^2)^2\cdots{(1+q^{n})^2}}\]

삼중곱 공식

자코비 삼중곱(Jacobi triple product)

\[\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\]

메모

Heine's theorem

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

George E. Andrews, Euler's "De Partitio Numerorum", Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
Koornwinder, Tom H. 1996. “Special functions and q-commuting variables”. q-alg/9608008 (8월 13). http://arxiv.org/abs/q-alg/9608008
A brief introduction to the world of q , R Askey (in Symmetries and integrability of difference equations), 1996
Andrews, G. “Applications of Basic Hypergeometric Functions.” SIAM Review 16, no. 4 (October 1, 1974): 441–84. doi:10.1137/1016081.