에르미트 행렬(Hermitian matrix)과 대각화

개요

\(n\times n\) 에르미트 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
- 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
- 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
- 행렬 A는 유니터리 대각화 가능하다

\(\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \overline{\beta} &\alpha \end{pmatrix}\), \(\alpha\in \mathbf{R},\beta\in\mathbf{C}\)

\(v\neq 0, Hv=\lambda v\)라 두자.
\(\lambda \langle v,v\rangle=\langle Hv,v \rangle=\langle v,H^\dagger v \rangle=\langle v,Hv \rangle=\bar{\lambda} \langle v,v\rangle \)
\(\lambda=\bar{\lambda}\)

\(v,w\neq 0, Hv=\lambda v, Hw=\mu v, \lambda\neq \mu\)라 두자.
\(\lambda \langle v,w\rangle=\langle Hv,w \rangle=\langle v, Hw \rangle=\langle v,Hw \rangle=\mu \langle v,w\rangle \)
따라서 \(\langle v,w\rangle =0 \)

에르미트 행렬\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & 1-i & 0 \end{array} \right)\]
행렬\[U=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{array} \right)\]
의 각 열은 A의 고유벡터이며, \(U^{\dagger}=U^{-1}\) 가 성립한다.
\(D=U^{\dagger}AU\) 는 대각행렬이다\[D=\left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]