복소함수론

간단한 요약

• 복소함수의 미적분학과 기하학적 성질을 공부함.
• 일변수미적분학은 본래 복소함수론의 세팅에서 배우는 것이 자연스럽고 바람직함.
• 학부수학에서 가장 중요한 과목이며 고등수학으로 나아가는 토대.
• 리만곡면론의 공부를 목표로 삼으면 좋음.

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 일변수미적분학
• 기초적인 다변수미적분학
  
  • 편미분
  • 자코비안
  • 선적분
  • 그린정리
• 2차원 회전변환
• 평면기하학의 반전사상(inversion)

 

다루는 대상

• 복소평면의 도메인, 리만구
• 복소함수
  
  • 뫼비우스변환
  • 초월함수

 

중요한 개념 및 정리

• 멱급수
• 코쉬 정리
• 유수 정리
• 해석적 연속
• 다가함수
• 리만 곡면

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 다가함수는 함수인가?
• 대수학의 기본정리
• 리만의 제타함수

 

다른 과목과의 관련성

• 미분기하학
  
  • 단순연결된 상수곡률곡면과 Uniformization 정리
• 대수적 위상수학
  
  • 호모토피
  • 모노드로미
  • covering space
• 추상대수학
  
  • discontinous groups
    
    • 뫼비우스변환
    • 아래의 '더 공부하면 좋은 것들' 항목 참조

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• Special functions
• 타원적분과 타원함수론
• Modular functions, modular forms and Fuchsian automorphic functions
• 대수적 함수와 아벨적분
• 리만곡면론
• 대수곡선론
• Discontinous groups
  
  • 후크군(Fuchsian groups), 클라인군(Kleinian groups), 쇼트키군(Schottky groups)
• Teichmüller theory

 

표준적인 교과서

• Complex Analysis
  
  • Lars Ahlfors

 

추천도서 및 보조교재

• Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint
  
  • Gareth A. Jones and David Singerman
    

 

참고할만한 도서 및 자료

• The Homotopy Theorems of Function Theory
  
  • Raymond Redheffer
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 7 (Aug. - Sep., 1969), pp. 778-787