분수와 순환소수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 4월 5일 (일) 10:22 판
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간단한 소개
  • 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다.
  • 생각할 거리가 풍부한 좋은 수학 문제.
  • 수학자 가우스도 소년 시절에 이를 열심히 공부했음.

 

 

0.142857142857...
  • [1]
  • 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
    142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
  • 142857 X 7 = 999999
  • 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99

 

 

순환마디의 길이
  • \(1\over n\) 의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
  • n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자.
  • 원소 10의 군  \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1\over n\) 의 순환마디의 길이가 됨
  • 다시 말하자면, \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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