슈르 다항식(Schur polynomial)

개요

대칭다항식의 하나
수학의 많은 영역에서 등장함
대칭군의 표현론에서 중요한 역할

정의

변수의 개수 n과 d의 (0을 허용하며, 크기가 n인) 분할(partition)이 $\lambda$가 주어지면 d차 다항식 $ s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)$ 이 결정된다
다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
- $\rho : n-1,n-2,\cdots, 0$
- d의 (크기가 n인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

\ref{van}의 $a_{\rho}$는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 \[s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\]
교대다항식을 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, 대칭다항식이 된다

예

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식

\[ \left( \begin{array}{cc} \{4,0,0,0\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1,0,0\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2,0,0\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1,0\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right) \]

영 태블로

영 태블로(Young tableau)를 이용한 슈르 다항식의 표현

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 T는 λ 형태의 준표준 영 태블로

예 $n=3$, $\lambda=(2,1,1)$의 경우, $s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2$

\begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}

\begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}

\begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

슈르 다항식은 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 다항식으로 표현할 수 있다
$s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})$
변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다 \[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]
예. \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]

역사

메모

슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
$s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}$
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

슈르 다항식(Schur polynomial)

목차

개요

정의

예

영 태블로

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

역사

메모

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