스토크스 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 11월 30일 (화) 18:37 판
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개요
  • 스토크스 정리
    \(\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}\)
  • 2-form 과 1-form

 

 

 

2-form 과 벡터장의 적분
  • 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\], \((s,t)\in D\)
  • 2-form \(\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy\)
  • 2-form의 적분의 정의는 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra 항목을 참조
    \(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt\)
  • 여기서 \({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)\) 을 관찰하면, 위의 적분은 곡면위에서 벡터장\(\mathbf{F}=(f_x,f_y,f_z)\)의 적분과 같다
    \(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (f_x,f_y,f_z)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t})\, ds\, dt=\iint_{S}\omega\)

 

 

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